Chủ đề này có 2 trả lời

[GSXoan]

Cho $x+y+z=1$Chứng minh BĐT $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} \leqslant \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 03-10-2013 - 22:13

[tuan101293]

$LHS = \sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(y+z)}{\prod (x+y)} =\frac{2(xy+yz+zx)}{\prod (x+y)}=\frac{2(xy+yz+zx)(x+y+z)}{\prod (x+y)}\le \frac{9}{4}$

ngược dấu bdt nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 03-10-2013 - 18:03

[GSXoan]

$LHS = \sum \frac{x}{x(x+y+z)+yz}= \sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{\sum x(y+z)}{\prod (x+y)} =\frac{2(xy+yz+zx)}{\prod (x+y)}=\frac{2(xy+yz+zx)(x+y+z)}{\prod (x+y)}\le \frac{9}{4}$

ngược dấu bdt nhé

Xin lỗi bạn mình nhầm

Đóng góp một cách khác:

Từ giả thiết ta có: $\sqrt{\frac{xy}{z}}\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\sqrt{\frac{yx}{z}}+\sqrt{\frac{zx}{y}}\sqrt{\frac{zy}{x}}=1$

Đặt  $\sqrt{\frac{xy}{z}}= tan\frac{A}{2}$  $\sqrt{\frac{xz}{y}}=tan\frac{B}{2}$  $\sqrt{\frac{yz}{x}}=tan\frac{C}{2}$  , $A,B,C \in(0,\pi)$

ta được $\tan{\frac{A}{2}} \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} \tan{\frac{C}{2}}+\tan{\frac{C}{2}} \tan{\frac{A}{2}}=1 $

Từ trên dễ dàng suy ra $A+B+C=\pi$

$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy} =\frac{1}{1+tan^2\frac{A}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{B}{2}}+\frac{1}{1+tan^2\frac{C}{2}}$

$=cos^2\frac{A}{2}+cos^2\frac{B}{2}+cos^2\frac{C}{2}$

$=\frac{3+cosA+cosB+cosC}{2}$

Mặt khác ta đã có BĐT

$cosA+cosB+cosC \leqslant \frac{3}{2}$(Chứng minh bằng 12 cách)

từ đó suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi GSXoan: 03-10-2013 - 22:10