Chủ đề này có 2 trả lời

[tttt]

Gỉai pt

$\sqrt{13x^2-6x+10}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}+\sqrt{17x^2-48x+36}=\frac{1}{2}(36x-8x^2-21)$

$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$

$\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$

 

 

 

 

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\sqrt{13x^2-6x+10}+\sqrt{17x^2-48x+36}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}=\sqrt{(2x-3)^2+(3x+1)^2}+\sqrt{(4x-6)^2+x^2}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}\geq \sqrt{(3x+1)^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}=\left | 3x+1 \right |+\left | x \right |+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}\geq 3x+1+x+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}=\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}+4x+1=B$

Ta sẽ CM :$B\geq \frac{1}{2}.(36x-8x^2-21)< = > \sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}\geq 18x-4x^2-\frac{21}{2}< = > 4x^2-14x+\frac{21}{2}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}\geq 0< = > (2x-3)^2+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}-2x+\frac{3}{2}\geq 0$

Do đó ta cần CM :$\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}-2x+\frac{3}{2}\geq 0< = > \sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}\geq 2x-\frac{3}{2}< = > (x-\frac{3}{2})^2\geq 0$(luôn đúng)

$= > VT\geq VP$

Dấu = xảy ra khi x=$\frac{3}{2}$

[trauvang97]

Gỉai pt

$\sqrt{13x^2-6x+10}+\sqrt{5x^2-13x+\frac{17}{2}}+\sqrt{17x^2-48x+36}=\frac{1}{2}(36x-8x^2-21)$

$\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$

 

a) Gọi vế trái và vế phải của phương trình đã cho theo thứ tự là $C$ và $D$

 

Ta có: 

 

$C=\sqrt{(3x+1)^2+(2x-3)^3}+\sqrt{\left ( 2x-\frac{5}{2} \right )^2+\left ( x-\frac{3}{2} \right )^2}+\sqrt{x^2+(4x-6)^2}$

 

$C\geq \left | 3x+1 \right |+\left | 2x-\frac{5}{2} \right |+\left | x \right |\geq \left | 3x+1+2x-\frac{5}{2}+x \right |=\left | 6x-\frac{3}{2} \right |\geq 6x-\frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{3}{2}$.

 

Mặt khác: 

 

$D=\frac{1}{2}[12x-3-2(4x^2-12x+9)]=\frac{1}{2}[12x-3-2(2x-3)^2]\leq \frac{1}{2}(12x-3)=6x-\frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{3}{2}$.

 

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3}{2}$

 

c) ĐK: $x\geq 1, x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

Gọi vế trái và vế phải của phương trình trên theo thứ tự là $A$ và $B$.

 

Áp dụng bất đẳng thức Buniakovsky cho hai bộ số: $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có:

 

$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$

 

Do $x\geq 1, x\leq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x \geq 0$ có nghiệm trong $\left ( -\infty;\frac{3}{2} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$B=\frac{1}{2\sqrt{x}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x).2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=-1$ và $x= \frac{4}{3}$.

 

Vậy nghiệm của phương trình trên là $x=1$