Chủ đề này có 1 trả lời

[quanghao98]

cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn:xy=1+z(x+y).Tìm GTLN của:

 

P=$\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}$+$\frac{z}{1+z^2}$

[Mrnhan]

cho 3 số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$.Tìm GTLN của:

 

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}$+$\frac{z}{1+z^2}$

Giải:

Xét 2TH:

1) $\left\{\begin{matrix}xy=1\\z(x+y)=0 \end{matrix}\right.$

"Tự ông!"

2) $xy\neq1$ 

Theo giả thiết ta có: $xy=1+z(x+y)\to -\frac{1}{z}=\frac{x+y}{1-xy}$

Đặt $x=\tan X, \: y=\tan Y,\:[X,\: Y\epsilon \:(0;\frac{\pi}{2})]\to z=-\frac{1}{tan(X+Y)}$

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}$+$\frac{z}{1+z^2}=\frac{2\tan X\tan Y(\tan X\tan Y+1)}{(1+\tan^2X)(1+\tan^2Y)}-\frac{\tan(X+Y)}{1+\tan^{2}(X+Y)}=2\sin X\sin Y\cos(X-Y)-\cos(X+Y)\sin(X+Y)\leq 1-\cos(X+Y)-\cos(X+Y)\sin(X+Y)=f(X+Y)$

Xét hàm $f(t)=-\sin t\cos t-\cos t+1, \forall t\: \epsilon \:(0;\pi)$

$\to f'(t)=-\cos2t+\sin t=0\to t=\frac{\pi}{6}|t=\frac{5\pi}{6}$

Và  $f''(t)=2\sin2t+\cos t\to f''(\frac{\pi}{6})>0,\: f''(\frac{5\pi}{6})<0\to Max\left \{ f(t) \right \}=f(\frac{5\pi}{6})=\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $X=Y=\frac{5\pi}{12}\to x=y=2+\sqrt{3},\: z=\sqrt{3}$