Chủ đề này có 12 trả lời

[Tmath1802]

Đại số giải trí

Như tiêu đề, em có một số sách và thông tin về đại số xin chia sẻ.

Khi nào rỗi em sẽ post một bài, có thể một tuần hay hai tuần,   vì em là học sinh mà.

Và xin hỏi các mod là bài dạng này post ở đâu nhỉ, thôi thì em mạn phép post trước ở đây.

Nói thêm đa phần thông tin dựa vào các nhà Toán học: Peralman, Li-ốp-si,...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tmath1802: 07-10-2013 - 22:07

[Tmath1802]

Kỳ 1: Phép toán thứ năm

Người ta thường gọi đại số là "Số học của bảy phép toán" để nhấn mạnh rằng nó kết hợp thêm ba phép toán mới vào số bốn phép toán đã biết, đó là phép nâng lên lũy thừa và hai phép toán ngược của nó.

Câu chuyện về đại số của chúng ta bắt đầu từ phép toán thứ 5: phép nâng lên lũy thừa.

Liệu rằng phép toán mới này có xuất phát từ những nhu cầu thực tiễn không hay chỉ có những lũy thừa bật cao trong bài tập. Dĩ nhiên là nó cũng có giá trị thực tiễn, chẳng hạn như các số thiên văn, không ai dùng nhiều phép toán thứ năm như các nhà thiên văn học. Thí dụ: khoảng cách đến tinh vân Anđrômeđa, viết bằng cách thông thường:

                                                                   95 000 000 000 000 000 000 

Còn khối lượng bằng gam của Mặt Trời thì sao? Phải chăng chúng rất cồng kềnh:

                                                                   1 983 000 000 000 000 000  000 000 000 000 000

Dễ thấy, sai lầm trong tính toán chúng xảy ra không ít, thế mà đó chưa phải là những con số thiên văn lớn nhất. Phép toán thứ năm đã cho các nhà tính tóan một lối thoát đơn giản. Đơn vị kèm theo của một dãy số không được biểu diễn bằng một lũy thừa xác định của 10:

         100=10²

         1 000=$10^{3}$

.................................

Tất nhiên làm như thế này sẽ tiện hơn so với việc viết số lúc đầu với...số không, không những vậy độ tin cậy trong tính toán sẽ cao hơn.

[Tmath1802]

Tiếp theo Kỳ 1:

Toàn bộ khí quyển nặng bao nhiêu?

Để thấy rõ khi thực hiện các tính toán bằng lũy thừa, thì việc tính toán trong thực tế được giảm nhẹ đến mức nào, ta thực hiện tính toán sau: Tính xem khổi lượng Trái Đất gấp bao nhiêu lần khối lượng không khí bao quanh ta.

Đã biết, mỗi cm2 của bề mặt Trái Đất, không khí đè lên một lực khoảng bằng một kg. Có nghĩa trọng lượng cột không khí tựa trên 1cm2 bằng 1kg. Số cột khí quyển như vậy bằng số cm2 bề mặt Trái Đất. Ta thấy bề mặt Trái Đất khoảng 150 triệu km2, tức khoảng 51.10⁷ km2.

Ta tính xem có bn cm2 trong một km2. Km chiều dài chứa 1000m, mỗi m chứa 100cm, tức là bằng 10⁵ cm. và một km2 chứa (10⁵)²  = 10¹⁰ cm2. Vì vậy toàn bộ bề mặt Trái Đất có:

51.10⁷.10¹⁰=51.10¹⁷

centimet vuông. Khí quyển cũng nặng bấy nhiêu kg. Đổi thành tấn, ta được:

51.10¹⁷:1000=51.10¹⁷​:10³=51.10^17-3=51.10¹⁴

^{Khối lượng Trái Đất được biểu thị bởi số: 6.10^21 tấn.}

ĐỂ tính xem hành tinh cảu chúng ta nặng gấp bn lần vỏ không khí của nó, ta làm phép chia:

6.10²¹:51.10¹⁴ $\approx$ 10⁶

^{tức khối lượng khí quyển gần bằng một phần triệu khối lượng Trái Đất.}

 

 

 

 

 

 

 

[Tmath1802]

Tiếp theo Kỳ 1:

                                                     Cháy không có lửa và không nóng

Nếu bạn hỏi nhá Hóa học, tại sao củi và than chỉ cháy ở nhiệt độ cao, ông ta sẽ nói rằng: Đúng ra sự kết hợp giữa Cacbon và Ôxy xảy ra ở mọi nhiệt độ, song ở nhiệt độ thấp, quá trình đó xảy ra rất chậm (tức là có một số rất ít phân tử tham gia phản ứng) cho nên ta không quan sát được. Định luật xác định tốc độ của các phản ứng Hóa học nói rằng: khi giảm nhiệt độ đi 10^oC thì tốc độ phản ứng (số phân tử tham gia phản ứng) giảm đi hai lần.

Ta áp dụng điều vừa nói vào phản ứng kết hợp giữa củi và Ôxy, tức là vào phản ứng cháy của củi. Giả sử ngọn lửa có nhiệt độ 600^oC đốt cháy mỗi giây một gam củi. Ở 20^oC, nó đốt cháy một gam củi hết bao lâu? Ta biết lúc đó nhiệt độ đã giảm mất 580=58.10 nên tốc độ của phản ứng nhỏ hơn 2⁵⁸ lần, tức là 1 gam củi sẽ cháy hết trong 2⁵⁸ giây. Khoảng thời gian đó bằng bao nhiêu năm? Ta có thể tính gần đúng lượng thời gian này mà không phải thực hiện 57 phép nhân với hai và cũng không cần đến bảng lôgarit. Ta tính như sau:

                                                       2¹⁰=1204$\approx$10³

Do đó:                                              

                                                      2⁵⁸=2^60-2=2⁶⁰:2²=$\frac{1}{4}$.2⁶⁰= $\frac{1}{4}$..(2¹⁰)⁶$\approx$$\frac{1}{4}$.10^18,

tức là khỏang một phần tư triệu triệu giây. Trong một năm có khoảng 30 triệu giây tức 3.10⁷ giây, vì thế:

                             (1$\frac{1}{4}$.10¹⁸):(3.10⁷)=$\frac{1}{12}$.10¹¹$\approx$10¹⁰

Mười tỷ năm! Một 1 gam củi sẽ cháy không có lửa và không nóng trong mười tỷ năm. Vậy là củi và than vẫn đang cháy chậm rãi ở nhiệt độ bình thường. Sự sáng chế công cụ làm ra lửa đã làm tăng quá trình này lên hàng tỷ lần.

[vanthap]

máy anh ơi cho em hỏi

7. Nhận xét rằng

            3² = 9

            33² = 1089

            333² = 110889

            3333² = 11108889

Hãy dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh dự đoán đó bằng phép quy nạp toán học

 

8. Chứng minh rằng với n ≥ 2, các số 1, 2, 3, …, 3n có thể chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm có n số có tổng bằng nhau.

9. Chứng minh rằng bàn cờ 2ⁿ x 2ⁿ bị bỏ đi một ô bất kỳ có thể phủ được bằng các quân trimino hình chữ L.

 

[Tmath1802]

máy anh ơi cho em hỏi

7. Nhận xét rằng

            3² = 9

            33² = 1089

            333² = 110889

            3333² = 11108889

Hãy dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh dự đoán đó bằng phép quy nạp toán học

 

8. Chứng minh rằng với n ≥ 2, các số 1, 2, 3, …, 3n có thể chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm có n số có tổng bằng nhau.

9. Chứng minh rằng bàn cờ 2ⁿ x 2ⁿ bị bỏ đi một ô bất kỳ có thể phủ được bằng các quân trimino hình chữ L.

Em mới học lớp 7 thôi, tạm nhờ mấy anh khác vậy, khi nào rãnh em sẽ nghiên cứu sâu hơn về lũy thừa, mấy cái trên là em dựa trên số sách của em rồi  biên tập lại.

[Tmath1802]

Tiếp theo Kỳ 1:

                                        Với ba số hai

Có phải mọi người đều biết phải viết ba chữ số như thế nào để biểu diễn chúng thành số lớn nhất. Phải lấy ba số 9 và sắp xếp như sau:

                                                                          (Ai chỉ em viết duới dạng Latex với, lũy thừa 3 cấp của 9)

tức là viết "Lũy thừa ba cấp của 9.

Số này cực kỳ lớn đến nỗi không có sự so sánh nào giúp ta thấy được mức lớn của nó. Số êlectrôn của vũ trụ nhìn thấy được cũng còn rất nhỏ so với nó. Khi đề cập đến bài toán này, tôi chỉ muốn nêu ra ở đây một mẫu khác của nó:

      Không dùng dấu các phép toán, bằng ba số hai, hãy viết số lớn nhất có thể.

Giải: Với những ấn tượng mới mẻ của sự xếp đặt ba số 9, hẳn cũng có một số bạn sẵn sàng cho số 2 sự xếp đặt  như sau:

                                                                           (Ai chỉ em viết duới dạng Latex với, lũy thừa ba cấp của 2)

tức là viết "Lũy thừa ba cấp của 2".

Song lần này thì hiệu quả mong đợi khôngm đạt được. Số đã viết không lớn, thậm chí còn nhỏ hơn 222. Thực vậy chẳng qua ta chỉ viết 2⁴ tức là 16. Số thực sự lớn gồm ba chữ số 2 không phải là 222, cũng không phải là 22² (tức là 484) mà là:

                                                                            2²²=4 194 304

Một thí dụ rất có tính giáo huấn. Nó chứng tỏ suy luận tương tự trong toán học là nguy hiểm: Nó dễ đưa đến những kết luận sai lầm.

                                       Với ba số 3 

Bài toán: Bây giờ thì hẳn các bạn đã thận trọng khi bắt tay vào bài toán sau: Không dùng dấu các phép toán, với 3 số 3, viết số lớn nhất có thể được.

Giải:

Việc sắp xếp ba số ba theo lũy thừa ba cấp không đạt kết quả như mong muốn vì Lũy thừa ba cấp của 3 bằng 3²⁷ nhỏ hơn 3³³.

Cách sắp xếp sau cùng này giải đáp được câu hỏi của bài toán.

Vậy thì câu hỏi cho Kỳ tới là: Không dùng dấu các phép toán, với 4 số 4, viết số lớn nhất có thể được.

Còn phần trên anh chị nào biết cách viết lũy thừa 3 cấp thì chỉ em để em sửa lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tmath1802: 17-10-2013 - 18:56

[Tmath1802]

Có chút nhầm nhọt ở đây ạ, bài 3 số 3 đã giải rồi, xin được sửa thành ba số 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tmath1802: 23-10-2013 - 10:08

[Tmath1802]

Với ba số 4

Bài Toán:

Không dùng dấu các phép tính , với ba số 4, viết số lớn nhất có thể được.

Giải:

Nếu trường hợp này, làm theo kiểu hai bài Toán trước, ta sẽ có đáp số:

                                                 4⁴⁴

Nhưng chính xác thì, đó là một sai lầm vì bây giờ thì cách sắp xếp theo lũy thừa ba cấp sẽ cho số lớn nhất. Thực vậy 4⁴=256 còn 4²⁵⁶ lớn hơn 4⁴⁴.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tmath1802: 23-10-2013 - 10:09

[Tmath1802]

Với bốn số 1

Bài toán:

Không dùng dấu các phép tính , với bốn số 1, viết số lớn nhất có thể được.

Giải:

Số 1111 nảy ra trong đầu như một hiện tượng tự nhiên trong óc không đáp ứng yêu cầu của bài Toán vì lũy thừa:

                                                                    11¹¹

lớn hơn nhiều lần. Việc tính số này bằng cách nhân số 11 với hàng chục lần dành cho ai đủ kiên nhẫn. Có thể tính nó rất nhanh bằng bảng logarit

Số này lớn hơn 285 tỷ do đó lớn hơn số 1111 gấp hàng triệu lần.

 

 

 

Đi qua phần này, những bạn mê khám, có tính tò mò có thể thử với bốn số 2. Tôi sẽ cho kết quả dưới đây, các bạn bôi đen rồi xem nhé

Do không rành sử dụng Latex mình đọc vậy: Viết dưới dạng lũy thừa ba cấp: 2 mũ 2 mũ 22.

[Tmath1802]

Thêm một câu chuyện về lũy thừa:

                                 Ô khóa bí mật

Bài toán:

       Một chiếc két sắt có từ thời trước Cách mạng được tìm thấy trong một cơ quan Xô Viết nọ. Người ta cũng tìm được chìa khóa của kết sắt nhưng muốn mở được phải biết bí mật của ô khóa. Cửa két sắt chỉ được mở khi 5 cái vòng tròn nhỏ với các chữ cái trên vành của chúng (36 chữ cái) hợp thành một từ xác định. Vì không ai biết từ đó và cũng không muốn phá kết, ngừơi ta quyết định thử tất cả các tổ hợp trên vòng tròn. Tạo nên một tổ hợp mất 3 giây.

       Có thể hy vọng tủ sẽ đuợc mở sau 10 ngày làm việc không?

Giải:

       Ta tính xem có bao nhiêu tổ hợp chữ cái phải thử. Mỗi một trong 36 chữ cái của vòng thứ nhất có thể tạo tương ứng với một trong 36 chữ cái của vòng thứ hai. nghĩ là các tổ hợp hai chữ cái có thể:

                                                                                                 36.36=36²

        Mỗi tổ hợp này lại có thể kết hợp với một trong 36 chữ cái của vòng thứ 3. Vì vậy số tổ hợp có 3 chữ cái là

                                                                                                 36².36=36³

        Bằng cách đó, tính dần, ta được số tổ hợp có 5 chữ cái là 36⁵ hay 60 466 176. Với ba giây cho mỗi tổ hợpthì muốn tạo thành hơn 60 triệu tổ hợp như vậy cần một thời gian

                                                                                          3.60 466 176=181 398 528

giây. Nó tức là hơn 50 000 giờ hoặc gần 6 300 ngày công 8 giờ, tức hơn 20 năm. Nghĩa là sau 10 ngày làm việc thì có 10 cơ hội mở được tủ két sắt trên 6 300 khả năng hoặc 1 phần 630. Đó là một sác xuất rất nhỏ. 

 

 

 

[Tmath1802]

Kỳ 2: Giải trí bằng Thơ Toán !

Mấy bài dưới đây mình sưu tầm được, thấy hay hay nên đăng lên cho các bạn xem.

 

Bài 1:

 

                                                                       Tình yêu và Toán học

Ánh xạ cuộc đời đưa anh đến với em
Qua những lang thang trăm nghìn toạ độ
Em số ảo ẩn mình sau số mũ
Phép khai căn em biến hoá khôn lường

Ôi cuộc đời đâu như dạng toàn phương
Bao kỳ vọng cho khát khao tiến tới
Bao biến số cho một đời nông nổi
Phép nội suy từ chối mọi lối mòn

Có lúc gần còn chút Epsilon
Em bỗng xa như một hàm gián đoạn
Anh muốn thả hồn mình qua giới hạn
Lại chìm vơi cạn mãi giữa phương trình

Tình yêu là định lý khó chứng minh
Hai hệ tiên đề chênh vênh xa lạ
Bao lô gic như giận hờn dập xoá
Vẫn hiện lên một đáp số cuối cùng


Mẫu số niềm tin đâu dễ quy đồng
phép chiếu tình yêu nhiều khi đổi hướng
Lời giải đẹp đôi luc do lầm tưởng
Ôi khó thay khi cuộc sống đa chiều

Bao chu kỳ, bao đợt sóng tình yêu
Anh khắc khoải cơn thuỷ triều cực đại
Em vẫn đó bờ nguyên hàm khờ dại
Nơi trái tim anh,
em mãi mãi là hằng số vô biên.

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tmath1802: 06-11-2013 - 22:52

[Tmath1802]

Bài 2:

               Tình

Tình đâu là căn thức bậc hai
Ðế có thể ngồi yên mà xét dấu
Em phải nhớ tình yêu là góc số
Mà hai ta là những kẻ chứng minh
Ðừng bao giờ đảo vế một phương trình

Cứ thong thả mà vui trên đồ thị
Tìm đạo hàm rồi ngồi yên suy nghĩ
Sẽ thấy dần hệ số góc tình yêu
Ðừng vội vàng định hướng một hai chiều
Rồi một buổi ta đồng qui tại góc
Em mĩm cười như tiếp tuyến bên tôi
Tôi vội vàng phân tích nét hoa tươi
Và nhận thấy em xinh xinh cực đại
Em khó hiểu thì tôi đành vô giải
Bài toán giải bằng phương pháp tương giao
Nhìn em cười tôi định nghĩa tình yêu
Nhưng chỉ gặp một phương trình vô nghiệm
Chưa hẹn hò mà lòng như bất biến
Chưa thân nhau mà đã thấy so le
Trót yêu rồi công thức có cần chi
Vì hệ luận ái tình không ẩn số
Em không nói tôi càng tăng tốc độ
Ðể mình tôi trên quãng đường đơn điệu.
Yêu là chết là triệt tiêu tất cả
Tình tiệm cận riêng mình tôi buồn quá
Nỗi cô đơn không giới hạn ngày mai
Tôi mang em đặt điều kiện tương lai
Cho tôi sống với nỗi niềm đơn giản

 

 

Những người làm Toán thật lãng mạn, chỉ thơ tình thôi!