Đề thi HSG thành phố Hải Phòng bảng A1 năm 2013-2014
#1
Posted 08-10-2013 - 17:38
- nguyenduchung1, linhlun97, IloveMaths and 5 others like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Posted 08-10-2013 - 19:35
Bài 1. Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$Mathcope.o
ĐKXĐ:$y\ne 0$
Dễ dàng thấy rằng $-1\le x,y\le 1$
Nếu $y<0$ thì ta có:$\frac{6\sqrt{15}}{y^3}<0$ và $125(1-y^2)>0$
$\Rightarrow 0<y\le 1$
Khi đó ta có:$$125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}$$
$$=\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{125}{3}y^2+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}+\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$$
$$\ge 125 (AM-GM)$$
Khi đó, phương trình thứ hai có nghiêm khi và chỉ khi:$\frac{125}{3}y^2=\frac{3\sqrt{15}}{y^3}$
Từ đó suy ra được $y=\sqrt{\frac{3}{5}}$
Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Đặt$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$
Dễ dàng chứng minh được:$x_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$
Ta có:$$x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)$$
$$\Leftrightarrow 13(x_{n+1}-3)=(x_n+10)(x_n-3)$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{x_n+10}=\frac{1}{x_n-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$
Do đó:$$S_n=\frac{1}{x_1-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3}$$
$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} S_n=\frac{1}{17}$$
_____________
p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha
Edited by thanhdotk14, 08-10-2013 - 19:36.
- Zaraki, LNH, etucgnaohtn and 2 others like this
-----------------------------------------------------
#3
Posted 08-10-2013 - 22:00
Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.
Mathcope.org
Xin mượn lời giải của anh quocbaolqd11
Ban đầu, gọi $x_i$ là toạ độ của bạn nam thứ $i$, $y_i$ là toạ độ của bạn nữ thứ $i$
$A_n$, $B_n$ lần lượt là tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới và giữa hai bạn khác giới.
Xét $n=1$: dễ dàng CM được
Giả sử $A_k<B_k$
Xét $n=k+1$:
$A_{k+1}=A_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i + y_{k+1}-y_i \right |\right )$
$B_{k+1}=B_{k}+\sum_{i=1}^{k}\left \left ( | x_{k+1}-x_i \right | +\left | y_{k+1}-y_i \right |\right )$
$A_{k+1}<B_{k+1}$
Suy ra đpcm
Edited by LNH, 08-10-2013 - 22:01.
- Zaraki and AnnieSally like this
#4
Posted 11-10-2013 - 19:45
Bài 1. Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{aligned}&x^2+y^2=1\\&125y^2+\frac{6\sqrt{15}}{y^3}=125\end{aligned}\right..$$Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.Bài 3. Tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc $2014$ với các hệ số thực thỏa mãn $f(x^2-2013)$ chia hết cho $f(x)$?Bài 4. Cho dãy số $\{x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn$$x_1=20,\;x_{n+1}=\frac{1}{13}(x_n^2+7x_n+9)\quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Đặt$$S_n=\frac{1}{x_1+10}+\cdots+\frac{1}{x_n+10} \quad \forall n\in\mathbb{Z}^+.$$Chứng minh rằng $\{S_n\}_{n=1}^{+\infty}$ hội tụ và tính $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.$Bài 5. Có $n$ bạn nam và $n$ bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.Mathcope.org
4,
$x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{13}(x_{n}-3)^{2}> 0,\forall n\geq 1$
Nên dãy $(x_{n})$ là dãy số tăng và có $limx_{n}=+\infty$ . Ngoài ra còn có :
$\frac{1}{x_{n}+10}=\frac{1}{x_{n}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$
Hay $S_{n}=\frac{1}{x_{1}-3}-\frac{1}{x_{n+1}-3},\forall n\geq 1$
Vậy $limS_{n}=\frac{1}{17}$$limS_{n}=\frac{1}{17}$
- HungHuynh2508, BlackSweet and l4lzTeoz like this
#5
Posted 11-10-2013 - 21:04
Bài 2. $DE$ cắt $AI$ tại $K'$,theo tính chất quen thuộc $BK'\perp AI$.
- yeutoan11, IloveMaths, LNH and 7 others like this
#6
Posted 11-10-2013 - 21:08
Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $I$ tiếp xúc các cạnh $BC,AC$ lần lượt tại $D,E.$ Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác tiếp xúc $BC$ tại $D$ và các phần kéo dài của đoạn thẳng $CA,AB$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng $GF,$ $DE$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFH$ đồng quy.
p/s:Bài 2 nhờ bạn kiểm tra lại đề nha
Chỗ màu đỏ phải là F
- yeutoan11 and Phan Thi Kim Anh like this
#7
Posted 19-06-2014 - 00:43
ko ai giai bai da thuc a
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users