Chủ đề này có 4 trả lời

[hihi2zz]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

 

Bài 1:(4 điểm)

Giải phương trình: $x=\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

Bài 2:(3 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa: $x^{2y}+(x+1)^{2y}=(x+2)^{2y}$

Bài 3:(4 điểm)

Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.Gọi $ d_1,d_2,d_3$ là các đường thẳng lần lượt qua $A,B,C$ và vuông góc với $B'C',C'A',A'B'.$Gọi $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ qua $A',B',C'$ và vuông góc với $BC,CA,AB$.Biết $ d_1,d_2,d_3$ đồng quy.Chứng minh rằng $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ đồng quy.

Bài 4:(3 điểm)

Cho hàm $f(x)$ thỏa mãn: $f(\tan2x)=\tan^4x+\cot^4x, \forall x \neq \frac{k\pi}{4} (k \in \mathbb{Z}).$Chứng minh rằng: $f(\sin x)+f(\cos x)\geq 196$

Bài 5:(3 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: Với mọi $k \in \mathbb{N}^*$,tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ để $u_n$ chia hết cho $10^k$.

Bài 6:(3 điểm)

Cho đa giác lồi $2014$ đỉnh.Một điểm $P$ nằm trong đa giác mà không thuộc bất kì đường chéo nào của đa giác.Chứng minh rằng số tam giác có đỉnh thuộc $2014$ đỉnh trên mà chứa được $P$ ($P$ thuộc miền trong tam giác đó) là số chẵn.

 

 

 

[Juliel]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

 

Bài 2:(3 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa: $x^{2y}+(x+1)^{2y}=(x+2)^{2y}$

Bài 3:(4 điểm)

Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.Gọi $ d_1,d_2,d_3$ là các đường thẳng lần lượt qua $A,B,C$ và vuông góc với $B'C',C'A',A'B'.$Gọi $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ qua $A',B',C'$ và vuông góc với $BC,CA,AB$.Biết $ d_1,d_2,d_3$ đồng quy.Chứng minh rằng $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ đồng quy.

 

Bài 2 có lẽ dùng định lí $Fermat$ lớn

Bài 3 :

Áp dụng định lí $Carnot$ cho tam giác $ABC$ với $d_1,d_2,d_3$ lần lượt đi qua $A',B',C'$ và vuông góc với $BC,CA,AB$ :

$\left ( A'B^{2}-A'C^{2} \right )+\left ( B'C^{2}-B'A^{2} \right )+\left ( C'A^{2}-C'B^{2} \right )=0\Rightarrow (AB'^{2}-AC'^{2})+(BC'^{2}-BA'^{2})+(CA'^{2}-CB'^{2})=0$

Từ đó theo định lí $Carnot$ đảo cho tam giác $A'B'C'$ ta có $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3}$ đồng quy.

[bangbang1412]

Bài 2 có lẽ dùng định lí $Fermat$ lớn

Bài 3 :

Áp dụng định lí $Carnot$ cho tam giác $ABC$ với $d_1,d_2,d_3$ lần lượt đi qua $A',B',C'$ và vuông góc với $BC,CA,AB$ :

$\left ( A'B^{2}-A'C^{2} \right )+\left ( B'C^{2}-B'A^{2} \right )+\left ( C'A^{2}-C'B^{2} \right )=0\Rightarrow (AB'^{2}-AC'^{2})+(BC'^{2}-BA'^{2})+(CA'^{2}-CB'^{2})=0$

Từ đó theo định lí $Carnot$ đảo cho tam giác $A'B'C'$ ta có $\Delta _{1},\Delta _{2},\Delta _{3}$ đồng quy.

Bài $2$ , theo định lý $Fermat$ lớn thì nó chỉ có nghiệm $(0,n,n)$ với $n$ nguyên thùy ý 

Hiển nhiên nếu $x=0$ chỉ thỏa mãn khi $y=0$ 

Nếu $x=-1$ thì đúng với mọi $y$

Kết luận $(x,y)=(0,0),(-1,n)$ với $n$ nguyên dương tùy ý

[LNH]

Bài 6:(3 điểm)

Cho đa giác lồi $2014$ đỉnh.Một điểm $P$ nằm trong đa giác mà không thuộc bất kì đường chéo nào của đa giác.Chứng minh rằng số tam giác có đỉnh thuộc $2014$ đỉnh trên mà chứa được $P$ ($P$ thuộc miền trong tam giác đó) là số chẵn.

Bạn đầu, đặt $P$ nằm ngoài $2014$ giác trên. Ta xét thuật toán sau: Mỗi lần thực hiện cho $P$ "nhảy" qua một và chỉ một cạnh (hoặc đường chéo) của đa giác này. Ta thấy qua một số bước thực hiện thuật toán, ta có điểm $P$ xác định

Xét 1 bước $P$ "nhảy" qua $AB$

Gọi $k$ là số tam giác có 2 điểm $A$,$B$ chứa $P$.

Khi đó, sau khi thực hiện bước này, số tam giác chứa $P$ tăng lên $2012-k-k=2012-2k$

Suy ra tính chẵn lẻ của số tam giác chứa $P$ không đổi.

Mặt khác, số tam giác lúc chưa thực hiện thuật toán là $0$, vậy số tam giác chứa $P$ luôn chẵn

[ducthinh26032011]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

 

Bài 1:(4 điểm)

Giải phương trình: $x=\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

 

Bài 5:(3 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: Với mọi $k \in \mathbb{N}^*$,tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ để $u_n$ chia hết cho $10^k$.

 

Câu 5 có vấn đề,khi k=2 thì k có n thỏa

Câu 1:

Đặt:$\sqrt[3]{3x+2}=a,\sqrt[3]{3a+2}=b\Rightarrow \sqrt[3]{3b+2}=x$

Hệ này khá quen thuộc,ta suy ra được $x=a=b$.Tới đây thì đơn giản rồi