Em còn bài này nhờ anh làm giúp ạ
Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:
$\begin{vmatrix} 1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}$
Ta có: $$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & ab\\ 1 & c & ac \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & ab\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & bc \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & ac\\ 1 & b & bc\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}=0$$ vì các cột 3 và cột 2 là tỷ lệ với nhau.
Suy ra
$$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2+ab+ac\\ 1 & b & b^2+ab+bc\\ 1 & c & c^2+ac+bc \end{vmatrix}=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc+(ab+bc+ca)\\ 1 & b & b^2-ca+(ab+bc+ca)\\ 1 & c & c^2-ab+(ab+bc+ca) \end{vmatrix}=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc\\ 1 & b & b^2-ca\\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 & a & (ab+bc+ca)\\ 1 & b & (ab+bc+ca)\\ 1 & c & (ab+bc+ca) \end{vmatrix}=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2-bc\\ 1 & b & b^2-ca\\ 1 & c & c^2-ab \end{vmatrix}=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ca\\ 1 & c & ab \end{vmatrix}=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ca\\ 1 & c & ab \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 11-10-2013 - 17:27