Chủ đề này có 4 trả lời

[vietnam123456789]

Cho đường tròn (C):$x^2+y^2+2x-4y+1=0$ và điểm $A(1;2)$.Viết phương trình đường tròn $(C_{1})$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$và$N$ sao cho diện tích $\Delta AMN$ max

 

[chanhquocnghiem]

$(C):x^2+y^2+2x-4y+1=0\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=4$ ---> $(C)$ có tâm tại $I(-1;2)$ và bán kính $R=2$ ---> $A(1;2)\in (C)$

Gọi $P$ là trung điểm $MN$ ---> IP _|_ MN

Dễ thấy nếu $MN$ không đổi thì $S(AMN)$ sẽ lớn nhất $\Leftrightarrow AP$ lớn nhất $\Leftrightarrow A,I,P$ thẳng hàng và $I$ nằm giữa $A$ và $P$.

Đặt $MN=2x\Rightarrow IP=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}\Rightarrow AP=\sqrt{4-x^2}+2$ 

---> $S(AMN)=x(\sqrt{4-x^2}+2)=x\sqrt{4-x^2}+2x$

Đặt $f(x)=x\sqrt{4-x^2}+2x$, ta tìm các cực trị cúa f(x)

$f{}'(x)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}+2$ ; $f{}'(x)=0\Leftrightarrow x=0;x=\sqrt{3}$

---> $f(x)$ đạt cực tiểu khi x = 0 và đạt cực đại khi $x=\sqrt{3}$ ---> $AP=\sqrt{4-3}+2=3$

$A,I,P$ thẳng hàng ---> pt của $AI$ (hoặc $AP$) là $y=2$ ---> AP // Ox ---> MN _|_ Ox ---> $x_{M}=x_{N}=x_{P}=x_{A}-3=-2$

Giả sử $y_{M}> y_{N}\rightarrow y_{M}=y_{P}+MP=2+\sqrt{3};y_{N}=y_{P}-NP=2-\sqrt{3}$

Bây giờ chỉ cần viết pt đường tròn $(C_{1})$ cắt $(C)$ tại $M(-2;2+\sqrt{3})$ và $N(-2;2-\sqrt{3})$

Tâm $I_{1}$ của đường tròn đó phải thuộc đường trung trực của MN là $y=2$ và khác $I$ ---> $I_{1}(m;2)$ (m # -1)

Bán kính của nó là $R_{1}=I_{1}M=\sqrt{I_{1}P^2+MP^2}=\sqrt{(m+2)^2+3}$

---> Pt tổng quát của $(C_{1})$ là $(C_{1}):(x-m)^2+(y-2)^2=(m+2)^2+3$ (m # -1)

(Có vô số đường tròn $(C_{1})$ thỏa mãn ĐK bài toán).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-10-2013 - 16:46

[chanhquocnghiem]

Cách khác (nếu chưa học đạo hàm) :

$A(1;2)\in (C)$ ---> $\Delta AMN$ nội tiếp $(C)$.Gọi $P$ là trung điểm $MN$

Với mỗi giá trị xác định d của $MN$ (0 < d < 2R = 4), $S(AMN)$ đạt GTLN ---> $AP$ là đường trung trực của $MN$ ---> $A,I,P$ thẳng hàng

$AI:y=2$ ---> MN _|_ Ox ---> $x_{M}=x_{N}=x_{P}$

Đặt $x_{M}=x_{N}=x_{P}=X$ ; $y_{M}=Y\rightarrow y_{N}=2y_{P}-y_{M}=4-Y$

$S(AMN)=AP.MP=\left | X-1 \right |.\left | Y-2 \right |$

$S_{AMN}$ đạt GTLN $\Leftrightarrow S_{AMN}^{2}$ đạt GTLN

$S_{AMN}^{2}=(X-1)^2(Y-2)^2=(X-1)^2[4-(X+1)^2]=(X^2-2X+1)[(8-X^2)-2X-5]=X^2(8-X^2)-2X^2-8X+3=X^2(8-X^2)-2X(X+4)+3=X^2(8-X^2)-2[(X+2)^2-4]+3$ 

= $X^2(8-X^2)-2(X+2)^2+11$

Áp dụng BĐT $ab\leqslant (\frac{a+b}{2})^2$ với $a=X^2;b=8-X^2$ ta có :

$X^2(8-X^2)\leqslant (\frac{8}{2})^2=16$ (dấu bằng xảy ra khi $X=\pm 2$)

$-2[(X+2)^2]\leqslant 0$ (dấu bằng xảy ra khi $X=-2$)

---> $S_{AMN}^{2}\leqslant 16+0+11=27\Rightarrow S_{AMN}\leqslant 3\sqrt{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $X=-2$)

Vậy $x_{M}=-2\rightarrow M(-2;2+\sqrt{3});N(-2;2-\sqrt{3})$

Bây giờ chỉ việc viết pt đường tròn $(C_{1})$ đi qua $M,N$ (làm như cách trên)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-10-2013 - 15:10

[vietnam123456789]

Cách khác (nếu chưa học đạo hàm) :

$A(1;2)\in (C)$ ---> $\Delta AMN$ nội tiếp $(C)$.Gọi $P$ là trung điểm $MN$

Với mỗi giá trị xác định d của $MN$ (0 < d < 2R = 4), $S(AMN)$ đạt GTLN ---> $AP$ là đường trung trực của $MN$ ---> $A,I,P$ thẳng hàng

$AI:y=2$ ---> MN _|_ Ox ---> $x_{M}=x_{N}=x_{P}$

Đặt $x_{M}=x_{N}=x_{P}=X$ ; $y_{M}=Y\rightarrow y_{N}=2y_{P}-y_{M}=4-Y$

$S(AMN)=AP.MP=\left | X-1 \right |.\left | Y-2 \right |$

$S_{AMN}$ đạt GTLN $\Leftrightarrow S_{AMN}^{2}$ đạt GTLN

$S_{AMN}^{2}=(X-1)^2(Y-2)^2=(X-1)^2[4-(X+1)^2]=(X^2-2X+1)[(8-X^2)-2X-5]=X^2(8-X^2)-2X^2-8X+3=X^2(8-X^2)-2X(X+4)+3=X^2(8-X^2)-2[(X+2)^2-4]+3$ 

= $X^2(8-X^2)-2(X+2)^2+11$

Áp dụng BĐT $ab\leqslant (\frac{a+b}{2})^2$ với $a=X^2;b=8-X^2$ ta có :

$X^2(8-X^2)\leqslant (\frac{8}{2})^2=16$ (dấu bằng xảy ra khi $X=\pm 2$)

$-2[(X+2)^2]\leqslant 0$ (dấu bằng xảy ra khi $X=-2$)

---> $S_{AMN}^{2}\leqslant 16+0+11=27\Rightarrow S_{AMN}\leqslant 3\sqrt{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $X=-2$)

Vậy $x_{M}=-2\rightarrow M(-2;2+\sqrt{3});N(-2;2-\sqrt{3})$

Bây giờ chỉ việc viết pt đường tròn $(C_{1})$ đi qua $M,N$ (làm như cách trên)

anh ơi tại sao$(X-1)^2(Y-2)^2=(X-1)^2[4-(X+1)^2)]$ ạ???

[chanhquocnghiem]

anh ơi tại sao$(X-1)^2(Y-2)^2=(X-1)^2[4-(X+1)^2)]$ ạ???

Vì $M(X;Y)\in (C):(x+1)^2+(y-2)^2=4$ nên các tọa độ của M phải nghiệm đúng pt của (C), tức là

$(X+1)^2+(Y-2)^2=4$ ---> $(Y-2)^2=4-(X+1)^2$