Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 16-10-2013 - 14:44
Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 16-10-2013 - 14:44
Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$
$\begin{bmatrix} 1 &-\frac{\alpha}{n} \\ \frac{\alpha}{n} & 1 \end{bmatrix}^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right )^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n$
Với: $I=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ là ma trận đơn vị. $B=\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1& 0 \end{bmatrix}$
$\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n=\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}.\frac{n^{n-k}}{\alpha^{n-k}}I^{n-k}B^k=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{k!}.\frac{\alpha^k}{n^k}B^k$
$\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{\alpha}{n} \right )^n\left ( \frac{n}{\alpha}I+B \right )^n=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k}.\frac{\alpha^k}{k!}B^k=$
$\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\left (\lim_{n\to +\infty} \frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{n^k} \right ).\frac{\alpha^kB^k}{k!}=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha^kB^k}{k!}=e^{\alpha B}$
Đến đây thì liệu có thể tính cụ thể được $e^{\alpha B}$ không nhỉ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 26-10-2013 - 10:28
Tính $L=\lim_{n \to +\infty}\begin{pmatrix}1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}^n, \alpha\: \in \: \mathbb{R}$
Câu này quen quen, hình như... ở đâu đấy, em đã đọc và lời giải như sau:
Giải:
Đặt $\tan\varphi=\frac{\alpha}{n}$
Ta được $$A=\begin{pmatrix} 1&-\frac{\alpha}{n}\\\frac{\alpha}{n}&1\end{pmatrix}=\frac{1}{\cos\varphi}\: \begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow A^n=\frac{1}{\cos^n\varphi}\begin{pmatrix}\cos n\varphi&-\sin n\varphi\\\sin n\varphi&\cos n\varphi \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}$$
Vì $\tan n\varphi=\tan \left ( n\arctan\frac{\alpha}{n} \right )\sim \tan\alpha$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh