Ngày 1.
Thời gian: 180 phút
Bài 1. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2. Cho dãy $(x_n)$ thỏa
$$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3. Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ cân nội tiếp $(O)$, $M$ di động trên $(O)$. $M$ không thuộc $AO$. Đường thẳng vuông góc $AM$ tại $M$ cắt $BC$ tại $N$. Đường trung trực của $MN$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $E,F$. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác $AEF.$
Bài 5. Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}$
Ngày 2.
Thời gian : 180 phút
Bài 1. Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa
$$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2. Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $max_{1\leq i\leq j\leq 5}\left | a_{i}-a_{j} \right |\leq 1$. Chứng minh:
$$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3. Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$ không cân có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB.$ Đường trung trực của $AB$ và $AC$ cắt $AM$ lần lượt tại $D$ và $E$. $BD$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $APFN$ nội tiếp.
Bài 5. Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A?$
---------Hết--------
Mời các bạn cùng thảo luận tại đây !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 16-10-2013 - 13:54