Chủ đề này có 1 trả lời

[tuanbi97]

Cho 3 điểm $A,B,C$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$. Tìm $M$ thuộc $d$ sao cho $MA+MB+MC$ nhỏ nhất

[perfectstrong]

Lời giải:

Ta xét tổng quát là $A,B,C$ không nhất thiết phải cùng phía so với $d$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $d \equiv Oy$ và $A \in Ox$. Đặt $A(0;a);B(b;c);C(d;e);M(x;0)$

Ta có\[
\begin{array}{l}
 MA + MB + MC = f\left( x \right) = \sqrt {x^2  + a^2 }  + \sqrt {\left( {x - b} \right)^2  + c^2 }  + \sqrt {\left( {x - d} \right)^2  + e^2 }  \\
 f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {x^2  + a^2 } }} + \frac{{x - b}}{{\sqrt {\left( {x - b} \right)^2  + c^2 } }} + \frac{{x - d}}{{\sqrt {\left( {x - d} \right)^2  + e^2 } }} \\
 f''\left( x \right) = \frac{{a^2 }}{{\left( {x^2  + a^2 } \right)^{3/2} }} + \frac{{c^2 }}{{\left( {\left( {x - b} \right)^2  + c^2 } \right)^{3/2} }} + \frac{{e^2 }}{{\left( {\left( {x - d} \right)^2  + e^2 } \right)^{3/2} }} > 0 \\
 \end{array}
\]
(chú ý là $a,c,e$ không thể đồng thời bằng $0$). Do đó $f'(x)$ tăng trên $R$.

Mà $\forall x > \max \left\{ {0;a;b;c;d;e} \right\}$:\[
f'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{a^2 }}{{x^2 }}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{c^2 }}{{\left( {x - b} \right)^2 }}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{e^2 }}{{\left( {x - d} \right)^2 }}} }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f'\left( x \right) = 3>0
\]
Và $\forall x < \min \left\{ {0;a;b;c;d;e} \right\}$:\[
f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{a^2 }}{{x^2 }}} }} - \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{c^2 }}{{\left( {x - b} \right)^2 }}} }} - \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{e^2 }}{{\left( {x - d} \right)^2 }}} }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f'\left( x \right) =  - 3 < 0
\]
Lại có $f'(x)$ liên tục trên $R$ nên tồn tại duy nhất $x_0 \in R: f'(x_0)=0$.

Lập bảng biến thiên, ta thấy ngay $f(x) \ge f(x_0) \forall x$. Vẽ $M_0(x_0;0)$. Do đó, điểm $M$ để $MA+MB+MC$ nhỏ nhất là $M_0$.