Vòng 1
Câu 1.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu 2.
Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$
Câu 3.
Cho tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BE, CF. Các đường tròn đường kính AB, AC theo thứ tự cắt tia DF, DE tại Q, P. Gọi N là tâm ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng :
a) AN $\perp$ PQ
b) AN, BP, CQ đồng quy
Câu 4.
Cơ sở dữ liệu tạp chí của thư viện Quốc Gia có đúng 2016 loại khác nhau . Thư viện này cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để có thể khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết mỗi thư viện địa phương được phép khai thác ít nhất 1008 loại tạp chí khác nhau và 2 thư viện địa phương bất kì có tối đa 504 loại tạp chí mà cả 2 thư viện địa phương đó cùng đc phép khai thác. Chứng minh rằng không có quá 1 loại tạp chí trong cơ sở dữ liệu của thư viện Quốc Gia mà cả 2013 thư viện địa phương đều không thể khai thác được
Vòng 2
Câu 1.
Cho hàm số $f: [0;2013]\to \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau đây :
1, $f(x)\leq 0$ với mọi $x\in[0;2013]$ và $f(2013)=-2013$
2, $f(x_1)+f(x_2)+....+f(x_n)\geq f(x_1+x_2+...+x_n)$ với mọi số nguyên $n$ và $n$ số thực $x_1;x_2;...x_n$ tuỳ ý thuộc đoạn $[0;2013]$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n\leq 2013$.
Chứng minh rằng $f(x)\geq -2x$ với mọi $x\in[0;2013]$
Câu 2.
Với mỗi số nguyên dương $k$ ta đặt $f(k)=6^k+9^k+10^k+15^k$. Một cặp 2 số nguyên dương $(m;n)$ được gọi là cặp đôi hạnh phúc nếu $f(m)$ và $f(n)$ cùng chia hết cho $mn$.
1, Cho 2 số nguyên lẻ $m,n>1$ và $(m,n)$ là 1 cặp đôi hạnh phúc. Chứng minh rằng $25|mn$ nhưng $125 \not | mn$.
2, Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $(k,k)$ là cặp đôi hạnh phúc và nếu phân tích $k=p_1^{\alpha_1}....p_r^{\alpha_r}$ thì $\alpha_1+...+\alpha_{n}=1911^{103}$. Ở đây $p_1,p_2,...,p_r$ là các số nguyên tố đôi 1 phân biệt và $\alpha_{1},...\alpha_{r}$ là các số nguyên không âm.
Câu 3.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ và không phải hình thang. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $(AC,BD)$, $(AB,CD)$ và $(AD,BC)$ và $(OE,FG)$. Đường tròn $(S)$ đi qua $O, H$ và cắt $(O)$ tại các điểm $M, N$. Gọi $X,Y$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $FAD, FBC$. Chứng minh rằng :
1, $E, M, N$ thẳng hàng.
2, $SX=SY$.
Câu 4.
Cho 2 đường gấp khúc khép kín không tự cắt, mỗi đường có 2013 cạnh. Biết rằng đường thẳng chứa các cạnh của 2 đường gấp khúc nói trên không có 3 đường nào đồng quy. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra từ mỗi đường gấp khúc 1 cạnh sao cho các đầu mút của chúng là 4 đỉnh tứ giác lồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 26-10-2013 - 14:30