Chủ đề này có 2 trả lời

[Juliel]

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+1=z$

Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^2}$$

 

[25 minutes]

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+1=z$

Tìm giá trị lớn nhất của :

$$P=\frac{x^{3}y^{3}}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)^2}$$

Ta có $P=\frac{x^3y^3}{\left [ 2a+b(a+b+2) \right ]\left [ 2b+a(a+b+2) \right ]\left [ 2(a+b+2)+ab \right ]^2}$

$\Rightarrow P=\frac{a^3b^3}{(2+b)(a+b)(2+a)(a+b)\left [ (2+a)(2+b) \right ]^2}=\frac{a^3b^3}{(2+a)^3(2+b)^3(a+b)^2}$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+b)^2 \geqslant 4ab$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{a^2b^2}{4(2+a)^3(2+b)^3}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{(2+a)^3(2+b)^3}$

Áp dụng tiếp AM-GM ta có 

          $(2+a)(2+b)\geqslant (2+\sqrt{ab})^2=(2+\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{ab}}{2})^2\geqslant \left [ 3\sqrt[3]{\frac{ab}{2}} \right ]^2=9\sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{4}}$

$\Rightarrow (2+a)^3(2+b)^3\geqslant \frac{729a^2b^2}{4}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{\frac{729a^2b^2}{4}}\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{729}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=4, c=10$

[Juliel]

Ta có $P=\frac{x^3y^3}{\left [ 2a+b(a+b+2) \right ]\left [ 2b+a(a+b+2) \right ]\left [ 2(a+b+2)+ab \right ]^2}$

$\Rightarrow P=\frac{a^3b^3}{(2+b)(a+b)(2+a)(a+b)\left [ (2+a)(2+b) \right ]^2}=\frac{a^3b^3}{(2+a)^3(2+b)^3(a+b)^2}$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+b)^2 \geqslant 4ab$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{a^2b^2}{4(2+a)^3(2+b)^3}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{(2+a)^3(2+b)^3}$

Áp dụng tiếp AM-GM ta có 

          $(2+a)(2+b)\geqslant (2+\sqrt{ab})^2=(2+\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{ab}}{2})^2\geqslant \left [ 3\sqrt[3]{\frac{ab}{2}} \right ]^2=9\sqrt[3]{\frac{a^2b^2}{4}}$

$\Rightarrow (2+a)^3(2+b)^3\geqslant \frac{729a^2b^2}{4}$

$\Rightarrow 4P\leqslant \frac{a^2b^2}{\frac{729a^2b^2}{4}}\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{729}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=4, c=10$

$a+b+1=9$, $c=10$, sao kì vậy anh ?   Em đang kiếm một lời giải bằng lượng giác hóa.