Chủ đề này có 2 trả lời

[thienminhdv]

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thienminhdv: 22-10-2013 - 18:01

[Rias Gremory]

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Cách giải bài trên và bài tổng quát hơn!

Tham khảo : http://www.ctber.net...z-zx-2xyz.2564/

[NMDuc98]

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Ta chứng minh BĐT sau:

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$

Thật vây:

$(x+y-z)(y+z-x)\leq \frac{(x+y-z+y+z-x)^{2}}{4}=y^2$       (1)

Tương tự:

$(y+z-x)(x+z-y)\leq z^2$                                                (2)

$(x+z-y)(x+y-z)\leq x^2$         (3)

Nhận vế theo vế (1);(2) và (3) ta có :

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$

$<=> xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

$<=>xy+yz+zx\leq \frac{1}{4}+\frac{9xyz}{4}$

=>$P=xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{1}{4}+\frac{xyz}{4}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\frac{1}{27}$

$=\frac{7}{27}$

$=>MaxP=\frac{7}{27}.$Dấu "=" xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DucHuyen1604: 24-10-2013 - 08:01