Chủ đề này có 7 trả lời

[yuneharachie]

CMR với mọi số tự nhiên n ta có 2.7ⁿ+1 là bội của 3 
( Mình đã làm bài này = hđt thứ 6 mở rộng rồi nhưng làm = nhị thức Newton thì mình không biết)

[lovemath99]

CMR với mọi số tự nhiên n ta có 2.7ⁿ+1 là bội của 3 
( Mình đã làm bài này = hđt thứ 6 mở rộng rồi nhưng làm = nhị thức Newton thì mình không biết)

Cái này sao được dùng Nhị thức Newton được nhỉ...

$7 \equiv 1 \pmod{3} \to 7^n \equiv 1 \pmod 3 \to 2.7^n \equiv 2 \pmod 3 \to 2.7^n+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$

Vậy...

[lovemath99]

CMR với mọi số tự nhiên n ta có 2.7ⁿ+1 là bội của 3 
( Mình đã làm bài này = hđt thứ 6 mở rộng rồi nhưng làm = nhị thức Newton thì mình không biết)

 

Chắc ý bạn là vậy $2.7^n+1=2.(6+1)^n+1$ sau khi khai triển Newton gì đó ra thì $(6+1)^n$ chia 3 dư 1 $\to 2(6+1)^n+1$ chia hết cho 3 nên nó là bội của 3.

[chanhquocnghiem]

CMR với mọi số tự nhiên n ta có 2.7ⁿ+1 là bội của 3 
( Mình đã làm bài này = hđt thứ 6 mở rộng rồi nhưng làm = nhị thức Newton thì mình không biết)

Ái chà, mới lớp 8 mà cũng có đề này sao ?

Bài này mà làm bằng nhị thức Newton thì dài dòng mà không hay, nhưng nếu muốn biết thì xem thử (lớp 11 mới học) :

$7^n=(6+1)^n=6^n+C_{n}^{1}.6^{n-1}.1^{1}+C_{n}^{2}.6^{n-2}.1^2+C_{n}^{3}.6^{n-3}.1^3+...+C_{n}^{n}.6^0.1^n$

Trong đó $C_{n}^{k}$ nghĩa là $\frac{n.(n-1).(n-2)...(n-k+1)}{1.2.3...k}$.Ví dụ $C_{7}^{3}=\frac{7.6.5}{1.2.3}=35$

Dễ thấy mọi số hạng vế phải đều chia hết cho $3$ (trừ số hạng cuối bằng $1$, ko chia hết cho $3$

---> $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2(mod3)$ ---> $2.7^n+1\equiv 0(mod3)$, $\forall n\in N$

Nói cách khác $2.7^n+1$ là bội của $3$, $\forall n\in N$ (đpcm)

[shinichikudo201]

Ái chà, mới lớp 8 mà cũng có đề này sao ?

Bài này mà làm bằng nhị thức Newton thì dài dòng mà không hay, nhưng nếu muốn biết thì xem thử (lớp 11 mới học) :

$7^n=(6+1)^n=6^n+C_{n}^{1}.6^{n-1}.1^{1}+C_{n}^{2}.6^{n-2}.1^2+C_{n}^{3}.6^{n-3}.1^3+...+C_{n}^{n}.6^0.1^n$

Trong đó $C_{n}^{k}$ nghĩa là $\frac{n.(n-1).(n-2)...(n-k+1)}{1.2.3...k}$.Ví dụ $C_{7}^{3}=\frac{7.6.5}{1.2.3}=35$

Dễ thấy mọi số hạng vế phải đều chia hết cho $3$ (trừ số hạng cuối bằng $1$, ko chia hết cho $3$

---> $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2(mod3)$ ---> $2.7^n+1\equiv 0(mod3)$, $\forall n\in N$

Nói cách khác $2.7^n+1$ là bội của $3$, $\forall n\in N$ (đpcm)

Cái này lớp 8 có rồi, thế nhưng là kiểu nhị thức Niu-tơn này khó hiểu lắn, bạn hãy dùng tam giác Paxcan khai triển thì nó dễ hiểu hơn với hs lớp 8

[yuneharachie]

Ái chà, mới lớp 8 mà cũng có đề này sao ?

Bài này mà làm bằng nhị thức Newton thì dài dòng mà không hay, nhưng nếu muốn biết thì xem thử (lớp 11 mới học) :

$7^n=(6+1)^n=6^n+C_{n}^{1}.6^{n-1}.1^{1}+C_{n}^{2}.6^{n-2}.1^2+C_{n}^{3}.6^{n-3}.1^3+...+C_{n}^{n}.6^0.1^n$

Trong đó $C_{n}^{k}$ nghĩa là $\frac{n.(n-1).(n-2)...(n-k+1)}{1.2.3...k}$.Ví dụ $C_{7}^{3}=\frac{7.6.5}{1.2.3}=35$

Dễ thấy mọi số hạng vế phải đều chia hết cho $3$ (trừ số hạng cuối bằng $1$, ko chia hết cho $3$

---> $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2(mod3)$ ---> $2.7^n+1\equiv 0(mod3)$, $\forall n\in N$

Nói cách khác $2.7^n+1$ là bội của $3$, $\forall n\in N$ (đpcm)

sao 2. 7ⁿ  thì đồng dư với 2 vậy, 2 chia 3 dư 2, 7 chia 3 dư 1 thì thành dư 3 chứ?

[yuneharachie]

Cái này lớp 8 có rồi, thế nhưng là kiểu nhị thức Niu-tơn này khó hiểu lắn, bạn hãy dùng tam giác Paxcan khai triển thì nó dễ hiểu hơn với hs lớp 8

 sao? tam giác paxcan sao có mũ n mà làm

[chanhquocnghiem]

sao 2. 7ⁿ  thì đồng dư với 2 vậy, 2 chia 3 dư 2, 7 chia 3 dư 1 thì thành dư 3 chứ?

$2\equiv 2(mod3)$ ; $7^n\equiv 1(mod3)$ ---> $2.7^n\equiv 2.1\equiv 2(mod3)$

Cái này là tính chất của đồng dư : $a\equiv m$ (mod $c$) ; $b\equiv n$ (mod $c$) ---> $a.b\equiv m.n$ (mod $c$)