Chủ đề này có 9 trả lời

[trangxoai1995]

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $2X^5+X=\begin{pmatrix} 3 &5 &0 \\ 5 &1 &9 \\ 0 &9 &0 \end{pmatrix}$

b) $X^6+2X^4+10X=\begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 5 &0 \end{pmatrix}$

c) $X^4=\begin{pmatrix} 3 &4 &0 \\ 0 &3 &0 \\ 0 &0 &-3 \end{pmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trangxoai1995: 24-10-2013 - 19:22

[zarya]

c) $X^4=\begin{pmatrix} 3 &4 &0 \\ 0 &3 &0 \\ 0 &0 &-3 \end{pmatrix}$

 

Riêng với bài 3 mình thử giải theo cách này, không biết có đúng không. Các bài kia hiện chưa nghĩ ra

Phương trình đặc trưng: 

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 &0 \\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0 &0 &-3-\lambda \end{vmatrix}=(-3-\lambda)(3-\lambda)^2=0$

 

$\rightarrow \lambda=\pm 3$

Gọi $G_1, G_2$ là phổ chiếu (dịch từ từ spectral projector, mình chưa gặp từ này trong tiếng Việt nên không biết nó gọi là gì ) của ma trận A đã cho ($A: X^4=A$).

Có:

$\left\{\begin{matrix} \lambda_1G_1+\lambda_2G_2=A\\ G_1+G_2=I_3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3G_1+3G_2=A\\ G_1+G_2=I_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} G_1=\frac{-A+3I_3}{6}\\ G_2=\frac{A+3I_3}{6}\end{matrix}\right.$

 

$G_1=\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$,     $G_2=\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$X^4=A\Rightarrow X=\pm A^{\frac{1}{4}}=\pm (\lambda_1^{\frac{1}{4}}G_1+\lambda_2^{\frac{1}{4}}G_2)=\pm ((-3)^{\frac{1}{4}}G_1+3^{\frac{1}{4}}G_2)$

 

$\sqrt[4]{-3}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$

 

Do đó:

 

$X=\pm\left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}+\sqrt[4]{3}\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix} \right )$

 

Không biết có thiếu nghiệm hay không.

----------

Cái băn khoăn nhất là $\sqrt[4]{3}$ và $\sqrt[4]{-3}$. Đúng ra mỗi cái nó có 4 căn. Không chắc lắm nên lấy căn cơ bản thôi. Bạn nào nắm chắc hơn giải thích mình rõ chút.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 29-10-2013 - 02:36

[trangxoai1995]

Riêng với bài 3 mình thử giải theo cách này, không biết có đúng không. Các bài kia hiện chưa nghĩ ra

Phương trình đặc trưng: 

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 &0 \\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0 &0 &-3-\lambda \end{vmatrix}=(-3-\lambda)(3-\lambda)^2=0$

 

$\rightarrow \lambda=\pm 3$

Gọi $G_1, G_2$ là phổ chiếu (dịch từ từ spectral projector, mình chưa gặp từ này trong tiếng Việt nên không biết nó gọi là gì ) của ma trận A đã cho ($A: X^4=A$).

Có:

$\left\{\begin{matrix} \lambda_1G_1+\lambda_2G_2=A\\ G_1+G_2=I_3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3G_1+3G_2=A\\ G_1+G_2=I_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} G_1=\frac{-A+3I_3}{6}\\ G_2=\frac{A+3I_3}{6}\end{matrix}\right.$

 

$G_1=\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$,     $G_2=\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$X^4=A\Rightarrow X=\pm A^{\frac{1}{4}}=\pm (\lambda_1^{\frac{1}{4}}G_1+\lambda_2^{\frac{1}{4}}G_2)=\pm ((-3)^{\frac{1}{4}}G_1+3^{\frac{1}{4}}G_2)$

 

$\sqrt[4]{-3}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$

 

Do đó:

 

$X=\pm\left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}+\sqrt[4]{3}\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix} \right )$

 

Không biết có thiếu nghiệm hay không.

----------

Cái băn khoăn nhất là $\sqrt[4]{3}$ và $\sqrt[4]{-3}$. Đúng ra mỗi cái nó có 4 căn. Không chắc lắm nên lấy căn cơ bản thôi. Bạn nào nắm chắc hơn giải thích mình rõ chút.

Bạn cho mình hỏi một chút, tại sao từ phương trình ban đầu lại có được phương trình đặc trưng như trên vậy. Bạn nói rõ cho mình cách tìm phương trình đặc trưng được không?

[zarya]

Bạn cho mình hỏi một chút, tại sao từ phương trình ban đầu lại có được phương trình đặc trưng như trên vậy. Bạn nói rõ cho mình cách tìm phương trình đặc trưng được không?

 

@Trang: Phương trình đặc trưng của một ma trận A: $det(A-\lambda I)=0$, giải ra được các trị riêng $\lambda_i$ của nó. Sở dĩ bài này mình tìm trị riêng vì muốn phân tích ma trận A bên vế phải thành dạng: $A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2$

Khi đó, có thể viết $f(A)=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 30-10-2013 - 01:37

[YeuEm Zayta]

@Zayra: bạn có thể giải thích rõ hơn về khái niệm "phổ chiếu" mà bạn đã đưa ra ở trên được ko?
Về bài làm của bạn m có 1 số góp ý như sau :
1/khi tính $lamda$ thì được giá trị là $3$ và $-3$ nhưng ở đây gtr $3$nghiệm bội là $2$ nên hệ phương trình trên của bạn ban đầu có vẻ ko ổn
2/Ta có nhận xét sau : $X^4$=$A$,det 2 vế : $(detX)^4$=$det(X^4)$=$det(A)$=$-27$<$0$ (vô lí). Chứng tỏ không tồn tại ma trận thỏa mãn.
P/s: m onl bằng điện thoại nên rất ngại latex ,mọi người thông cảm nak

[trangxoai1995]

Ai có phương pháp làm cụ thể của mấy bài này không chỉ giúp mình với? Mình cảm ơn nhiều.

[zarya]

Giờ mình cũng đang tìm hiểu về mấy cái này. Mấy cái phương trình ma trận đa thức đọc một tí đã thấy loạn lên @.@ Mà bạn giải ma trận trên truờng số thực hay trường số phức vậy?

 

Vừa xem cái này. Bạn có thời gian thì đọc nhé. Mình đọc lướt một tí thấy có vẻ đúng với phần này. Hi vọng có thể giúp bạn được.

 

 1207.6027.pdf   66.91K   774 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 30-10-2013 - 17:20

[trangxoai1995]

Giờ mình cũng đang tìm hiểu về mấy cái này. Mấy cái phương trình ma trận đa thức đọc một tí đã thấy loạn lên @.@ Mà bạn giải ma trận trên truờng số thực hay trường số phức vậy?

 

Vừa xem cái này. Bạn có thời gian thì đọc nhé. Mình đọc lướt một tí thấy có vẻ đúng với phần này. Hi vọng có thể giúp bạn được.

 

1207.6027.pdf

Cái này mình phải in ra để nghiên cứu thôi. Đọc lướt thì mình thật sự không thẻ hiểu nổi, mà lại bằng tiếng anh nữa. Mà chỉ thấy cách giải ma trận bậc 2 thôi bạn ạ.

[zarya]

Cái này mình phải in ra để nghiên cứu thôi. Đọc lướt thì mình thật sự không thẻ hiểu nổi, mà lại bằng tiếng anh nữa. Mà chỉ thấy cách giải ma trận bậc 2 thôi bạn ạ.

 

Mấy bài phương trình ma trận của bạn lấy ở đâu thế? Mình chưa gặp bao giờ.

[trangxoai1995]

Mấy bài phương trình ma trận của bạn lấy ở đâu thế? Mình chưa gặp bao giờ.

Mình tìm kiếm ở trên mạng thôi bạn ạ. Thế bạn đã giải được tất cả các phương trình mình đăng chưa??