c) $X^4=\begin{pmatrix} 3 &4 &0 \\ 0 &3 &0 \\ 0 &0 &-3 \end{pmatrix}$
Riêng với bài 3 mình thử giải theo cách này, không biết có đúng không. Các bài kia hiện chưa nghĩ ra
Phương trình đặc trưng:
$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 &0 \\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0 &0 &-3-\lambda \end{vmatrix}=(-3-\lambda)(3-\lambda)^2=0$
$\rightarrow \lambda=\pm 3$
Gọi $G_1, G_2$ là phổ chiếu (dịch từ từ spectral projector, mình chưa gặp từ này trong tiếng Việt nên không biết nó gọi là gì ) của ma trận A đã cho ($A: X^4=A$).
Có:
$\left\{\begin{matrix} \lambda_1G_1+\lambda_2G_2=A\\ G_1+G_2=I_3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3G_1+3G_2=A\\ G_1+G_2=I_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} G_1=\frac{-A+3I_3}{6}\\ G_2=\frac{A+3I_3}{6}\end{matrix}\right.$
$G_1=\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$, $G_2=\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$
$X^4=A\Rightarrow X=\pm A^{\frac{1}{4}}=\pm (\lambda_1^{\frac{1}{4}}G_1+\lambda_2^{\frac{1}{4}}G_2)=\pm ((-3)^{\frac{1}{4}}G_1+3^{\frac{1}{4}}G_2)$
$\sqrt[4]{-3}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$
Do đó:
$X=\pm\left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}+\sqrt[4]{3}\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix} \right )$
Không biết có thiếu nghiệm hay không.
----------
Cái băn khoăn nhất là $\sqrt[4]{3}$ và $\sqrt[4]{-3}$. Đúng ra mỗi cái nó có 4 căn. Không chắc lắm nên lấy căn cơ bản thôi. Bạn nào nắm chắc hơn giải thích mình rõ chút.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 29-10-2013 - 02:36