Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangvi1997]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa

a) a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq \frac{3}{2}$

b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$. CMR:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

c) $ab+bc+ca=3$.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 25-10-2013 - 22:39

[datcoi961999]

 

b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$. CMR:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

áp dụng bđt  Bunhiacopski dạng phân thức ta có

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+2y+z}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+y+2z}\\$

cộng từng vế lại ta suy ra đpcm

[25 minutes]

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa

a) a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{a+bc}+\frac{b^3}{b+ca}+\frac{c^3}{c+ab}\geq \frac{3}{2}$

b) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$. CMR:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

 

a, Áp dụng AM-GM ta có

             $\frac{a^3}{a+bc}+\frac{a+bc}{4}+\frac{a+bc}{4}\geqslant \frac{3a}{2}$

             $\frac{b^3}{b+ac}+\frac{b+ac}{4}+\frac{b+ac}{4}\geqslant \frac{3b}{2}$

             $\frac{c^3}{c+ab}+\frac{c+ab}{4}+\frac{c+ab}{4}\geqslant \frac{3c}{2}$

Cộng 3 bất đẳng thức lại, để ý $ab+bc+ca \leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$, ta có ngay

             $\sum \frac{a^3}{a+bc}\geqslant a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

b, Sử dụng $\frac{16}{2x+y+z}\leqslant \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có ngay đpcm

[25 minutes]

c) $ab+bc+ca=3$.CMR:

$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(c+a)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{abc}{1+a^2(b+c)}\leqslant 1$

Áp dung AM-GM ta có $3=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{(abc)^2}\Rightarrow abc\leqslant 1$

Khi đó $\frac{abc}{1+a^2(b+c)}=\frac{abc}{1+a(3-bc)}=\frac{abc}{3a+1-abc}\leqslant \frac{bc}{3}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được

          $\sum \frac{abc}{1+a^2(b+c)} \leqslant \frac{bc+ab+ca}{3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$