Chủ đề này có 3 trả lời

[hihi2zz]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

1) $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

2) $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

[Hoang Tung 126]

Câu 1: Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z= > \frac{b}{a}=\frac{1}{x},\frac{c}{b}=\frac{1}{y},\frac{c}{a}=\frac{1}{z}= > x+y+z\geq 3,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$(do áp dụng cosi)

Biểu thức cần CM $< = > 3+x^3+y^3+z^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\geq \frac{3}{2}(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Áp dụng bdt :$m^3+n^3+p^3\geq \frac{(m+n+p)^3}{9}$

Ta có : VT=$3+x^3+y^3+z^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\geq 3+\frac{(x+y+z)^3}{9}+\frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3}{9}\geq \frac{3}{2}(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})< = > 2(x+y+z)^3+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3+54\geq 27(x+y+z)+27(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Đặt $x+y+z=m,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=n= > m\geq 3,n\geq 3$

Tách ghép đối xứng ta sẽ CM :$2m^3+27\geq 27m< = > 2m^2(m-3)+6m(m-3)-9(m-3)\geq 0< = > (2m^2+6m-9)(m-3)\geq 0$(luôn đúng do $m\geq 3$)

CM tương tự biểu thức kia .Cộng vế các bdt cùng chiều suy ra đpcm .

Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

Câu 2:Ta có :$\sum \frac{a^3}{b^2}=\sum \frac{\frac{a^4}{b^2}}{a}=\sum \frac{(\frac{a^2}{b})^2}{a}\geq \frac{(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2}{a+b+c}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}< = > \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$

Mặt khác theo bdt Cauchy Swtach có :$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$(luôn đúng)

$= > dpcm$. 

Dấu = xảy ra khi a=b=c

[nghiemthanhbach]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

1) $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

2) $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Mình giải bài 2 theo cách cơ bản đây      

$\sum \frac{a^3}{b^2}=\sum \frac{a^4}{ab^2}$

Áp dụng cauchy điểm rơi ta có:

$\frac{a^4}{ab^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}$

Chứng minh tương tự với các cặp còn lại ta có được:

$\sum \frac{a^4}{ab^2}+a+b+c\geq 2\sum \frac{a^2}{b}$

Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau bằng Schwarz: $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\Leftrightarrow -\sum \frac{a^2}{b}\leq -(a+b+c)$

Áp dụng vào dãy ở trên ta có:

$\sum \frac{a^4}{ab^2}+a+b+c\geq 2\sum \frac{a^2}{b}\Leftrightarrow \sum \frac{a^3}{b^2}\geq 2\sum \frac{a^2}{b}-(a+b+c)\geq 2\sum \frac{a^2}{b}-\sum \frac{a^2}{b}=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\rightarrow Q.E.D$

p/s: Đơn dễ hiêu hơn cách ơ trên nhỉ            

[Zaraki]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:

1) $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh $$6+ 2 \sum \dfrac{a^3}{b^3}+ 2 \sum \dfrac{a^3}{c^3} \ge 3 \sum \dfrac ab + 3 \dfrac ac$$

Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số ta có $$VT= \left(1+ \dfrac{a^3}{b^3}+ \dfrac{b^3}{c^3} \right)+ \left( 1+ \dfrac{a^3}{b^3}+ \dfrac{c^3}{a^3} \right)+ \left( 1+ \dfrac{b^3}{c^3}+ \dfrac{c^3}{a^3} \right)+ \\ + \left( 1+ \dfrac{a^3}{c^3}+ \dfrac{c^3}{b^3} \right)+ \left(1+  \dfrac{a^3}{c^3}+ \dfrac{b^3}{a^3} \right)+ \left( 1+ \dfrac{b^3}{a^3}+ \dfrac{c^3}{b^3} \right) \ge VP$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$. $\blacksquare$