Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

 Cho $\Delta ABC$ có $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta$. Nối $AO,BO,CO$ giao $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$. Gọi $I$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta MNP$ .Nối $MI,NI,PI$ giao $PN,PM,MN$ ở $D,E,F$. CMR:  $AD,BE,CF$ đồng quy.

[Juliel]

 Cho $\Delta ABC$ có $O$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta$. Nối $AO,BO,CO$ giao $BC,CA,AB$ ở $M,N,P$. Gọi $I$ là điểm bất kỳ nằm trong $\Delta MNP$ .Nối $MI,NI,PI$ giao $PN,PM,MN$ ở $D,E,F$. CMR:  $AD,BE,CF$ đồng quy.

Ta có :

$$\dfrac{S_{ADN}}{S_{ADP}}=\dfrac{AD.DN.sin\widehat{ADN}}{AD.DP.sin\widehat{ADP}}=\dfrac{DN}{DP},\dfrac{S_{ADN}}{S_{ADP}}=\dfrac{AN.AD.sin\widehat{DAC}}{AD.AP.sin\widehat{DAB}}=\dfrac{AN.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}$$

Do đó : $$\dfrac{AD.sin\widehat{DAC}}{AP.sin\widehat{DAB}}=\dfrac{DN}{DP}\Rightarrow \dfrac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}=\dfrac{DN}{DP}.\frac{AP}{AN}$$

Hoàn toàn tương tự : 

$$\dfrac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}=\dfrac{EP}{EM}.\dfrac{BM}{BP},\;\;\dfrac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=\dfrac{FM}{FN}.\dfrac{CN}{CM}$$

Suy ra :

$$\dfrac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}.\dfrac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}.\dfrac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=\frac{DN}{DP}.\frac{EP}{EM}.\frac{FM}{FN}.\frac{AP}{AN}.\frac{BM}{BP}.\frac{CN}{CM}$$

Theo định lí $Ceva$ trong tam giác $ABC$ và $MNP$ thì : 

$$\dfrac{DN}{DP}.\dfrac{EP}{EM}.\dfrac{FM}{FN}=1,\;\;\dfrac{AP}{AN}.\dfrac{BM}{BP}.\dfrac{CN}{CM}=1$$

Suy ra $$\dfrac{sin\widehat{DAC}}{sin\widehat{DAB}}.\dfrac{sin\widehat{EBA}}{sin\widehat{EBC}}.\dfrac{sin\widehat{FCB}}{sin\widehat{FCA}}=1$$

Theo định lí $Ceva-sin$ ta có $AD,BE,CF$ đồng quy.