Chủ đề này có 7 trả lời

[Mrnhan]

Tìm tích phân bất định sau:$$I=\int\frac{1}{\sqrt[4]{1+x^2}}\: dx$$

 

[zarya]

Đây là tích phân eliptic rồi thì phải

[Mrnhan]

Đây là tích phân eliptic rồi thì phải

Em không biết hàm này là hàm gì, anh có thể làm ra cụ thể được không?

[bangbang1412]

Em không biết hàm này là hàm gì, anh có thể làm ra cụ thể được không?

Đây là dạng cơ bản của nhị thức $Trebusep$ mà anh , nếu anh làm không ra thì chắc $elliptic$ thật 

[zarya]

Anh đã kiểm tra không phải dạng vi phân nhị thức. Nhân có thời gian thử đặt $x=sinht$ rồi biến đổi xem sao.

[Mrnhan]

Bạn em hỏi câu này mà em không làm được, vậy nhờ các anh làm giúp:

 

$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

 

P/s: Em nhớ công thức này được áp dụng trong vật lý chất khí thực, nhưng em không thấy sách giải thích!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 01-11-2013 - 11:57

[funcalys]

Bạn em hỏi câu này mà em không làm được, vậy nhờ các anh làm giúp:

 

$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

 

P/s: Em nhớ công thức này được áp dụng trong vật lý chất khí thực, nhưng em không thấy sách giải thích!

Đổi biến $x=ut, u\in \mathbb{R}_+$

[zarya]

Tích phân Gauss nổi tiếng đây mà. Laplace chứng minh nó bằng $\sqrt{\pi}$. Còn technique để tính thì như thế này:

$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

Bình phương 2 vế và đổi biến:

$I^2=\left ( \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \right )^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

 

$dxdy$ là vi phân diện tích trong mặt phẳng $Oxy$, miền lấy tích phân là toàn bộ mặt phẳng này nên ta chuyển sang tọa độ cực:

$\left\{\begin{matrix} x=r \cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{matrix}\right.$

Trong đó:

$\left\{\begin{matrix} \varphi: 0 \rightarrow 2\pi\\ r: 0 \rightarrow +\infty \end{matrix}\right.$

 

$I^2=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rdrd\varphi=\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdr\int_{0}^{2\pi}d\varphi=\frac{1}{2}.2\pi=\pi$

 

Do đó: $I=\sqrt{\pi}$