2 replies to this topic

[viet 1846]

Cho $G$ là một nhóm nhân. Gọi $G'$ là nhóm con của $G$ sinh bởi các giao hoán tử $[x;y]=x^{-1}y^{-1}xy$ với $x,y\in G$

1) Chứng minh $G'$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$

2) Xác định $S'_3$ trong đó $S_3$ là nhóm các hoán vị của ba số $1,2,3$

3) Chứng minh rằng $S_3/S'_3 \cong Z_2$

 

 

[fghost]

1/ Với mọi $g \in G,$ ta cần chứng minh $a^{-1}G'a \subset G$. Ta có, với $c \in G',$ $a^{-1}ca=(a^{-1}cac^{-1})c=[a,c^{-1}]c\in G'c=G'$, điều phải chứng minh.

 

2/ $S_3$ có 6 phần tử là $1, (12),(23),(13),(123),(132)$. Viết ra những giao hoán tử, ta thấy đó là $\{(132), (123), 1\}$. Vì vậy $S'_3=<(123)>$.

 

3/ $|S_3/S'_3|=2$, mà nhóm có 2 phần tử chỉ có thể đồng dạng với $Z_2$. Điều phải chứng minh.

Edited by fghost, 01-11-2013 - 04:04.

[Linh3113]

1/ Với mọi $g \in G,$ ta cần chứng minh $a^{-1}G'a \subset G$. Ta có, với $c \in G',$ $a^{-1}ca=(a^{-1}cac^{-1})c=[a,c^{-1}]c\in G'c=G'$, điều phải chứng minh.

 

2/ $S_3$ có 6 phần tử là $1, (12),(23),(13),(123),(132)$. Viết ra những giao hoán tử, ta thấy đó là $\{(132), (123), 1\}$. Vì vậy $S'_3=<(123)>$.

 

3/ $|S_3/S'_3|=2$, mà nhóm có 2 phần tử chỉ có thể đồng dạng với $Z_2$. Điều phải chứng minh.

cho e hỏi ý 2 vt như thế nào những giao hoán tử thế ạ