Chủ đề này có 2 trả lời

[The Collection]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. $F$ là trung điểm của $CD$. $G$ là giao điểm của $E F$ và $EAB$. Chứng minh rằng tứ giác $EAGB$ điều hòa.

 

P/s: Lâu rồi mới post bài

[nguyenthehoan]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. $F$ là trung điểm của $CD$. $G$ là giao điểm của $E F$ và $EAB$. Chứng minh rằng tứ giác $EAGB$ điều hòa.

 

P/s: Lâu rồi mới post bài

Đúng là lâu thật..

Qua $E$ vẽ đường thẳng song song với $CD$, gọi là tia $Ex$ như hình vẽ.

Ta có $ \widehat{xEA}=\widehat{EDC}=\widehat{EBA}$ nên $Ex$ tiếp xúc với $(EAB)$

Mặt khác do $F$ là trung điểm của $CD$ nên chùm $(Ex,EF,EA,EB)$ là chùm điều hòa.

Chiếu chùm điều hòa này theo tâm $E$ nên $(EAB)$ ta có ngay điều phải chứng minh.

 

P/s: Chúc cậu thi đỗ vòng 2 nhé!!!

[perfectstrong]

Lâu không thấy em post bài thật

Lời giải 2:

Gọi $(I)$ là đường tròn qua $E,A,B$ và $d$ là tiếp tuyến tại $E$ của $(I)$.

\[
\begin{array}{l}
 IC^2  - ID^2  = P_{C/\left( I \right)}  - P_{D/\left( I \right)}  = \overline {CB} .\overline {CE}  - \overline {DA} .\overline {DE}  = \left( {\overline {CE}  + \overline {EB} } \right)\overline {CE}  - \left( {\overline {DE}  + \overline {EA} } \right)\overline {DE}  \\
  = EC^2  - ED^2  + \overline {EA} .\overline {ED}  - \overline {EC} .\overline {EB}  = EC^2  - ED^2  + P_{E/\left( O \right)}  - P_{E/\left( O \right)}  = EC^2  - ED^2  \\
  \Rightarrow IE \bot CD \Rightarrow d\parallel CD \Rightarrow \left( {d,EF,ED,EC} \right) =  - 1 \Rightarrow \left( {EGAB} \right) =  - 1 \\
 \end{array}
\]