Chủ đề này có 1 trả lời

[Gioi han]

Cho $x,y,z $ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=6(y+z-x)+27xyz$

[Jupiter_1996]

Cho $x,y,z $ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=6(y+z-x)+27xyz$

Đặt $a=-x,b=y,c=z$ suy ra $a \le 0, b,c \ge 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. Khi đó $P=6(a+b+c)-27abc$.

Ta có \[{P^2} = {\left[ {6\left( {a + b + c} \right) - 27abc} \right]^2} = {\left[ {6\left( {a + b} \right) + \left( {6 - 27ab} \right)c} \right]^2}\]

Suy ra

\[{P^2} \le \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left[ {36 + {{\left( {6 - 27ab} \right)}^2}} \right] = \left( {2t + 1} \right)\left( {72 - 324t + 729{t^2}} \right) \text{ với }t=ab\]

hay

\[{P^2} \le 9\left( {162{t^3} + 9{t^2} - 20t + 8} \right) = f\left( t \right).\]

Từ ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1 \Rightarrow  2\left| {ab} \right| \le {a^2} + {b^2} = 1 - {c^2} \le 1 $ nên $  - \frac{1}{2} \le t=ab \le 0$. Khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ trên $\left[ { - \frac{1}{2},0} \right]$ ta thu được $\max f\left( t \right) = f\left( { - \frac{2}{9} }\right)$

Từ các kết quả trên ta suy ra \[{P^2} \le f\left( { - \frac{2}{9}} \right) = 100 \Rightarrow P \le 10.\]

Vậy $\max P = 10$ khi $x=\frac{1}{3},y=z=\frac{2}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jupiter_1996: 01-11-2013 - 00:28