Chủ đề này có 1 trả lời

[zarya]

Tìm tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ từ không gian $\mathbb{R}^n$ vào chính nó thỏa mãn: $\varphi ^2=id$

[KhuongHoangTuong]

Tìm tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ từ không gian $\mathbb{R}^n$ vào chính nó thỏa mãn: $\varphi ^2=id$

Gọi $A$ là ma trận tương ứng với tự đồng cấu đã cho, gọi $\lambda$ là một giá trị riêng ứng với vector riêng $v$

Theo giả thiết của bài toán ta có $\varphi ^{2}(v)=v$ $\Rightarrow \lambda ^{2}v=v$

Từ đó $\lambda =\pm 1$

Vậy đa thức đạc trưng tương ứng của ma trân A cũng có các giá trị riêng là $\pm 1$. 

Gọi $s_{1}$ và $s_{2}$ tương ứng là bội của các giá trị riêng $\lambda _{1}=1$ và $\lambda _{2}=-1$

Rõ ràng $s_{1}+s_{2}\leq n$.

Ta sẽ đi tìm tất cả các dạng chuẩn Jorndan có thể có của $A$

 

Theo công thức ta có, số khối Jordan cấp 1 ứng với giá trị riêng $1$ là :

   $\begin{align*} rank(A-I)^{0}-2rank((A-I)^1)+rank((A-I)^{2}) &= n-2rank(A-I)+rank(A^{2}-2A+I) \\ &=n-2rank(A-I)+rank(2A-2I) \\ &= n-rank(A-I)\\ \end{align*} \leq s_{1}$

 

tương tự số khối Jordan cấp 1 ứng với giá trị riêng $-1$ là

$\begin{align*} rank(A+I)^{0}-2rank((A+I)^1)+rank((A+I)^{2}) &= n-2rank(A+I)+rank(A^{2}+2A+I) \\ &=n-2rank(A+I)+rank(2A+2I) \\ &= n-rank(A+I)\\ \end{align*} \leq s_{2}$

 

 

Mặt khác., theo bất đảng thức Sylvester ta có

$rank(A+I+I-A)\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq rank(A^{2}-I)+n$

$\Leftrightarrow rank(2I)\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq n$

$\Leftrightarrow n\leq rank(A-I)+rank(A+I)\leq n$

$\Rightarrow rank(A-I)+ rank(A+I)=n$

 

Từ đó ta có:

$n=n-rank(A-I)+ n-rank(A+I)\leq s_{1}+s_{2}\leq n$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n-rank(A-I)=s_{1}\\ n-rank(A+I)=s_{2} \end{matrix}\right.$

 

Ma trận này thỏa mãn điển kiện chéo hóa nên: dạng chéo của am trận $A$ sẽ có dạng tổng quát là :

$\begin{pmatrix} 1 & & & & & & &\\ &. & & & & & &\\ & &. & & & & &\\ & & &1 & & & &\\ & & & & -1 & & &\\ & & & & & . & &\\ & & & & & &. &\\ & & & & & & &-1 \end{pmatrix}$ 

Với $s_{1}$ số $1$  và $s_{2}$ số $-1$ trên đường chéo chính và $o$ ở các vị trí còn lại.

Và tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ cần tìm sẽ có ma trận biểu diễn ở dạng như trên