Chủ đề này có 7 trả lời

[yeutoan2604]

Cho x ; y ; z là đọ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 

C/m rằng : $\frac{4x}{2-y-z}+\frac{4y}{2-x-z}+\frac{4z}{2-x-y}\leq 3$

MOD: Chú ý tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 02-11-2013 - 00:27

[25 minutes]

Cho x ; y ; z là đọ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 

C/m rằng : $\frac{4x}{2-y-z}+\frac{4y}{2-x-z}+\frac{4z}{2-x-y}\leq 3$

BĐT $\Leftrightarrow \frac{4x}{1+x}+\frac{4y}{1+y}+\frac{4z}{1+z}\leqslant 3$

        $\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geqslant \frac{9}{4}$

Nhưng bất đẳng thức luôn đúng do 

             $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geqslant \frac{9}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

[yeutoan2604]

mình vẫn chưa hiểu phần $\frac{4x}{1+x}+\frac{4y}{1+y}+\frac{4z}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{9}{4}$

[kfcchicken98]

mình vẫn chưa hiểu phần $\frac{4x}{1+x}+\frac{4y}{1+y}+\frac{4z}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{9}{4}$

bạn trừ cả 2 vế cho 12, rồi đổi lại dấu là ra

[yeutoan2604]

Bạn có thể viết rõ ra cho mình được không? thank trước

[yeutoan2604]

À mình hiểu rồi tớ còn bài này nữa: cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{7}{5}$ 

Chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}<\frac{1}{abc}$

[leduylinh1998]

Đặt ba mẫu lần lượt là a,b,c$\Rightarrow a+b+c=4$

$\left\{\begin{matrix} x=a-1 & \\ y=b-1 & \\ z=c-1 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A=12-4. \sum \frac{1}{a} \leq 12-4.\frac{9}{a+b+c}=3$

 

[leduylinh1998]

Thêm một cách nữa nè:

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{4x}{x+1}\leq 3$

Ta có:$\frac{16x}{x+1}=\frac{16}{1+\frac{1}{x}}=\frac{16}{1+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3x}}\leq 1+3x+3x+3x=9x+1$

Làm tương tự rồi cộng vế theo vế các BĐT ta được đpcm