Chủ đề này có 3 trả lời

[vnposs]

Tính định thức sau:

$$\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$$

 

Tính giúp mình nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 04-11-2013 - 12:01

[vo van duc]

Tính định thức sau:

$$\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$$

 

 

Với định thức dạng đường chéo thế này thì việc áp dụng phương pháp truy hồi là ý tưởng mà tôi đã áp dụng. Tuy nhiên dạng quy luật của định thức này khó chịu quá. Kết hợp dùng các phép biến đổi sơ cấp thì cũng rất khó khăn và cũng không sáng sủa mấy.

 

Cuối cùng thì tôi lấy cuốn "Problems in Linear Algebra" ra xem gợi ý. Có đúng hai dòng gợi ý cho bài này thôi nhưng cho ta nhiều thứ, học được thêm một kỹ thuật. Xin chia sẽ gợi ý ấy cho các bạn.

...............................

Đầu tiên ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp "Thay hàng thứ i bằng tổng của hàng đó với các hàng bên dưới hàng đó, với $i=1,2,\ldots ,n-1$", sau đó thực hiện tiếp phép biến đổi sơ cấp "Thay cột i bằng cột i trừ cột liền trước nó với $i=n,n-1,\ldots ,2$". Từ đó suy ra một hệ thức truy hồi.

 

Ta có:

 

$$\begin{eqnarray}\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix} &=& \begin{vmatrix} x+n-1 & x+n-1 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ n-1 & x+n-2 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ 0 & n-2 & x+n-3 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x+1 & x+n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}\\ &=& \begin{vmatrix} x+n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x-1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x-1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix}\\ &=& (x+n-1)\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-2 & x-1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$$

 

Từ đó ta có thể suy ra một hệ thức truy hồi như sau $$D_n(x)=(x+n-1)D_{n-1}(x-1)$$

 

Với hệ thức truy hồi này ta tính được kết quả là $$D_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(x+n-2k+1)$$

 

 

P/S: Ngoài ra còn có một cách viết kết quả khác là như thế này: $$D_n=\left\{\begin{matrix} (x^2-1^2)(x^2-3^2)\ldots \left [ x^2-(n-1)^2 \right ] & \text{nếu n chẳn}\\ x(x^2-2^2)(x^2-4^2)\ldots \left [ x^2-(n-1)^2 \right ] & \text{nếu n lẻ} \end{matrix}\right.$$

 

Hãy nhìn vào cách viết đáp số này để xem chúng ta còn có ý tưởng nào khác không cho bài toán khó và đẹp mắt này hay không nào??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 09-11-2013 - 05:28

[vnposs]

 

Đầu tiên ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp "Thay hàng thứ i bằng tổng của hàng đó với các hàng bên dưới hàng đó, với $i=1,2,\ldots ,n-1$", sau đó thực hiện tiếp phép biến đổi sơ cấp "Thay cột i bằng cột i trừ cột liền trước nó với $i=n,n-1,\ldots ,2$". Từ đó suy ra một hệ thức truy hồi.

 

Ta có:

 

$$\begin{eqnarray}\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix} &=& \begin{vmatrix} x+1-1 & x+n-1 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ n-1 & x+n-2 & x+n-1 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ 0 & n-2 & x+n-3 & \cdots & x+n-1 & x+n-1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x+1 & x+n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}\\ &=& \begin{vmatrix} x+n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x-1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x-1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix}\\ &=& (x+n-1)\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-2 & x-1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-3 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-1 & n-2\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$$

 

Từ đó ta có thể suy ra một hệ thức truy hồi như sau $$D_n(x)=(x+n-1)D_{n-1}(x-1)$$

 

Với hệ thức truy hồi này ta tính được kết quả là $$D_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(x+n-2k+1)$$

 

 

Cám ơn anh !

Nhưng em đang k hiểu bước (1) "Thay hàng thứ i bằng tổng hàng đó với các hàng bên dưới". Như vậy thì hàng đầu tiên phải có tất cả các phần tử bằng x+n-1 . Anh xem lại giúp em nha !

 

 

@vo van duc: Anh gõ sai thôi em à. hihi. Sửa lại rồi. h

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 05-11-2013 - 12:11

[Mrnhan]

Tính định thức sau:

$$\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$$

 

Tính giúp mình nhé !

 

Dựa vào kết quả trên để có các nghiệm sau!!

 

Đặt $f(x)=\begin{vmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ n-1 & x & 2 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & n-1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{vmatrix}$

 

Dễ thấy $Degf=n$ (Chém gió đó, ko phải dễ thấy đâu, chứng minh đấy!!!  )

 

Dễ thấy: $f(1-n)=0\to$ Chứng minh...

 

Tương tự $f(x_*)=0\Leftrightarrow x_*=-n+2k+1,\: k=1,n$

 

Nên $f(x)=\alpha \prod_{k=1}^{n}\left ( x+n-2k+1 \right )$

 

Cho $x=0 \to \alpha=?$

 

P/s: Bài này dựa hoàn toàn vào KQ ở trên và hướng dẫn thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 05-11-2013 - 16:22