Chủ đề này có 3 trả lời

[nhatduy01]

Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng

                                P= $\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{z^{3}}\geq 2(\frac{x^{2}}{y^2}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 05-11-2013 - 18:06

[25 minutes]

Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng

                                P= $\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}+\frac{x^{3}}{z^{3}}\geq 2(\frac{x^{2}}{yz}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy})$

Ta sẽ chỉ phải chứng minh $2$ bất đẳng thức sau

                 $\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3} \geqslant \frac{x^2}{yz}+\frac {y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}$  (1)

Và             $\frac{y^3}{x^3}+\frac{z^3}{y^3}+\frac{x^3}{z^3} \geqslant \frac{x^2}{yz}+\frac {y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}$   (2)

Chứng minh (1) và (2) cũng hoàn toàn tương tự

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{x^3}{y^3}+\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}\geqslant \frac{3x^2}{yz}$

                                   $\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}\geqslant \frac{3y^2}{xz}$

                                    $\frac{z^3}{x^3}+\frac{z^3}{x^3}+\frac{x^3}{y^3}\geqslant \frac{3z^2}{xy}$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có (1) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

[nhatduy01]

Ta sẽ chỉ phải chứng minh $2$ bất đẳng thức sau

                 $\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3} \geqslant \frac{x^2}{yz}+\frac {y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}$  (1)

Và             $\frac{y^3}{x^3}+\frac{z^3}{y^3}+\frac{x^3}{z^3} \geqslant \frac{x^2}{yz}+\frac {y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}$   (2)

Chứng minh (1) và (2) cũng hoàn toàn tương tự

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{x^3}{y^3}+\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}\geqslant \frac{3x^2}{yz}$

                                   $\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}\geqslant \frac{3y^2}{xz}$

                                    $\frac{z^3}{x^3}+\frac{z^3}{x^3}+\frac{x^3}{y^3}\geqslant \frac{3z^2}{xy}$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có (1) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

Nhưng mà trong đề của em nó lại ghi là $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy}$ không biết nếu đề là như thế thì bđt có đúng ko vậy anh?

[25 minutes]

Nhưng mà trong đề của em nó lại ghi là $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy}$ không biết nếu đề là như thế thì bđt có đúng ko vậy anh?

Cũng có thể đúng nhưng như thế bài toán không còn đẹp tí nào cả, chắc có lẽ em chép lộn đề rồi