Cho 3 số thực thỏa mãn $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\cfrac{x}{x^2+1}+\cfrac{y}{y^2+1}+\cfrac{z}{z^2+1}\geqslant \cfrac{-1}{2}$
Chứng minh $\cfrac{x}{x^2+1}+\cfrac{y}{y^2+1}+\cfrac{z}{z^2+1}\geqslant \cfrac{-1}{2}$
Bắt đầu bởi thienminhdv, 06-11-2013 - 06:54
#2
Đã gửi 06-11-2013 - 15:38
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
Cho 3 số thực thỏa mãn $x+y+z=xy+yz+zx$. Chứng minh $\cfrac{x}{x^2+1}+\cfrac{y}{y^2+1}+\cfrac{z}{z^2+1}\geqslant \cfrac{-1}{2}$
Ta có $\left ( x+y+z \right )^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy=\left ( \sum xy \right )^{2}\Rightarrow \sum x^{2}=t^{2}-2t với t=\sum xy$
$\frac{x}{x^{2}+1}=x-\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\geq x-\frac{x^{3}}{2x}=x-\frac{x^{2}}{2}$
$VT\geq \sum x-\sum \frac{x^{2}}{2}=t-\frac{t^{2}-2t}{2}=\frac{4t-t^{2}}{2}$
Chỉ việc chứng minh $\frac{4t-t^{2}}{2}\geq \frac{-1}{2}$ - đơn giản rồi!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 06-11-2013 - 15:41
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
