SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THỪA THIÊN HUẾ KHỐI 12 THPT CHUYÊN _ NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
BÀI 1: (5 điểm)
Cho 3 điểm phân biệt $A,B,C$ thẳng hàng với $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Đường tròn $(T)$ thay đổi và đi qua 2 điểm $B,C$. Gọi $T$ và $T^{'}$ hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến của $(T)$ vẽ từ $A$. $M$ là trọng tâm tam giác $ATT^{'}$. Tìm $(T)$ để $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
BÀI 2: (5 điểm)
Tìm dãy số $(U_{n})$, $n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i/ $u_{0}=503,25$ và $u_{n}>0$
ii/ $\forall n\in \mathbb{N}, u_{n+1}\leq u_{n}$
iii/ $\forall n\in \mathbb{N^{*}}, \sum_{k=1}^{n}\frac{u_{k-1}^{2}}{u_{k}}<2013$
BÀI 3: (5 điểm)
Cho $n$ là số nguyên dương chẵn, $a$ là số nguyên dương sao cho $a$ có đúng $n^2$ ước số lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại $m\in \mathbb{N^*},a=m^4$
BÀI 4: (5 điểm)
Tập hợp các điểm của mặt phẳng được phân hoạch thành 3 tập hợp $A,B,C$ khác rỗng đôi một không có điểm chung.
Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp trong 3 tập hợp $A,B,C$ chứa 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác sao cho tam giác đó là tam giác cân hoặc tam giác đó có số đo 3 góc tạo thành một cấp số nhân.
-------------------------Hết---------------------------
Giám thi coi thi không giải thích gì thêm
Edited by donghaidhtt, 06-11-2013 - 11:40.