Chủ đề này có 1 trả lời

[ngohuongbg65]

cho $\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$

tính $\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )$

[angleofdarkness]

Ta có $(x-\sqrt{1+y^2})(y-\sqrt{1+x^2})=xy-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$

 

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-xy-\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y\sqrt{1+y^2}-x\sqrt{1+x^2}$

 

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-y(x+\sqrt{1+y^2})-\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+y^2}+x)$

 

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-(x+\sqrt{1+y^2})(y+\sqrt{1+x^2})$

 

$=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$ (*)

 

Nhân theo vế của (*) với đẳng thức cho ta được:

$$(x^2-1-y^2)(y^2-1-x^2)=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$$

 

$\Leftrightarrow 1-(x^2-y^2)^2=2xy+2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}-1.$

 

$\Leftrightarrow 2(1-xy)=2\sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}+(x^2-y^2)^2.$

 

Nên $1-xy\geq \sqrt{(xy-1)^2+(x+y)^2}\geq \sqrt{(xy-2)^2}=|1-xy|.$ (**)

 

Lại có $|1-xy| \geq 1-xy$ nên dấu = ở (**) xảy ra khi x + y = 0. Tức x = -y.

 

Nên $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+x^2})=1.$