4 replies to this topic

[thienminhdv]

Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$

[leduylinh1998]

Ta có:

$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$

$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$

[nghiemthanhbach]

Cho ba số thực dương thoả mãn $\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}=2013$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\cfrac{1}{2x+y+z}+\cfrac{1}{x+2y+z}+\cfrac{1}{x+y+2z}$

Bài này sẽ vận dung bất đẳng thức CBS dạng Engel hay còn gọi là C-S và Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức C-S ngược ta có:

$\frac{16}{2x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}$

Chứng minh tương tự và cộng lại ta có

$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{4}{16}.(\sum \frac{1}{x})=\frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $x=z=y=\frac{1}{671}$

Like mạnh     

Ủa ghi nhầm tý để fix

Edited by nghiemthanhbach, 08-11-2013 - 22:15.

[laiducthang98]

Bạn xem ở đây : http://diendantoanho...1a2bcfrac1ab2c/

[thienminhdv]

Ta có:

$\large 16P=\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \sum \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=8052$

$\large \Rightarrow P\leq \frac{2013}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi$\large x=y=z=\frac{1}{671}$

Ta có BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ với $x,y> 0$

Suy ra  $\frac{1}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$

Chứng minh tương tự ta có :

 

$\frac{1}{a+2b+c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{2013}{4}$