Chủ đề này có 3 trả lời

[Juliel]

Định dạng tam giác $ABC$ biết rằng :

$$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{a^{2}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$

 

[Juliel]

Định dạng tam giác $ABC$ biết rằng :

$$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{a^{2}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$

Không biết đề có đúng không nhưng chắc phải thêm điều kiện tam giác $ABC$ nhọn.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $\dfrac{\pi }{2}>A\geq B\geq C$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{sin^{2}\dfrac{A}{2}}\leq \dfrac{1}{sin^{2}\dfrac{B}{2}}\leq \dfrac{1}{2sin^{2}\dfrac{C}{2}}$ 

Và $cosB+cosC\geq cosC+cosA\geq cosA+cosB$

Suy ra $$\dfrac{cosB+cosC}{sin^{2}\dfrac{A}{2}}\geq \frac{cosC+cosA}{sin^{2}\dfrac{B}{2}}\geq \frac{cosA+cosB}{sin^{2}\dfrac{C}{2}}$$

Tức là $$\dfrac{cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}\geq \frac{cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}\geq \dfrac{cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}$$

Mặt khác dễ có $a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2}$

Áp dụng BĐT $Tchebyshev$ :

$$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{a^{2}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\geq \dfrac{1}{3}\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\left ( \dfrac{cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}} +\dfrac{cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\frac{cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\right )$$

Mặt khác ta chứng minh được $cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{B-C}{2}cos\dfrac{C-A}{2}\geq 8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$

Do đó $$\dfrac{cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}} +\dfrac{cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\frac{cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\geq 3\sqrt[3]{8}=6$$

Suy ra $$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{a^{2}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\geq \frac{1}{3}.(a^2+b^2+c^2).6=2(a^2+b^2+c^2)$$

Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.

Vậy : Tam giác đã cho thỏa hệ thức đề bài là tam giác đều.

 

Hình như hai dãy nó không cùng chiều @@ đau thật. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-11-2013 - 10:53

[LzuTao]

Không biết đề có đúng không nhưng chắc phải thêm điều kiện tam giác $ABC$ nhọn.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $\dfrac{\pi }{2}>A\geq B\geq C$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{sin^{2}\dfrac{A}{2}}\leq \dfrac{1}{sin^{2}\dfrac{B}{2}}\leq \dfrac{1}{2sin^{2}\dfrac{C}{2}}$ 

Và $cosB+cosC\geq cosC+cosA\geq cosA+cosB$

Ngược chiều BĐT

Ps: Mình nghĩ vế cuối phải là $c^2$

$$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{{\color{Red}{a^{2}}}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 04-08-2015 - 22:24

[LzuTao]

Định dạng tam giác $ABC$ biết rằng :

$$\dfrac{a^{2}cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^{2}cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{a^{2}cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$

$$\frac{a^{2}\cos\frac{B-C}{2}}{\sin\frac{A}{2}}+\frac{b^{2}\cos\frac{C-A}{2}}{\sin\frac{B}{2}}+\frac{c^{2}\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{C}{2}}=2(a^2+b^2+c^2)$$

Ta có:

$VT=\sum \frac{a^{2}\cos\frac{B-C}{2}\sin\frac{B+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}=\sum \frac{a^{2}\left (\sin B+\sin C  \right )}{\sin A}\\=\sum \frac{a^{2}\left (\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\right )}{\frac{a}{2R}}=\sum \left ( ab+ac \right )=2\left ( ab+bc+ca \right )\le 2\left (a^2+b^2+c^2  \right )$

Dấu $"="$ xảy ra $a=b=c\qquad$ hay $\triangle ABC$ đều.

 

$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 06-08-2015 - 23:56