$\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$
$\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\geq \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}$
#1
Đã gửi 11-11-2013 - 03:50
#2
Đã gửi 11-11-2013 - 06:17
Cách giải : Bài toán phải có điều kiện a,b,c là các số dương nhé bạn.
Bất đẳng thức tương đương với $(1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})\ge \frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}$
$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3(a^3+b^3+c^3)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{3(a^3+b^3+c^3)}$
$\Leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$ $(1)$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM: $a^3+a^3+b^3\ge 3a^2b;a^3+a^3+c^3\ge 3a^2c$
Tương tự với cặp 3 số $(b^3,b^3,c^3),(b^3,b^3,a^3),(c^3,c^3,a^3),(c^3,c^3,b^3)$.
Rồi cộng 6 bất đẳng thức lại có ngay $(1)$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pluswith: 11-11-2013 - 06:18
- Zaraki, Yagami Raito, nguyentrungphuc26041999 và 4 người khác yêu thích
Quyết tâm rèn luyện hình học
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh