2.Cho a,b,c > thoả mãn $$a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Chứng minh $a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$
(Peru, 2007)
xét: $abc\geq 1 => a+b+c \geq 3$
bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)^{2}\geq 3+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
mà theo giả thiết : $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
=> $2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\le\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{2}\le\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$
ta cần c/m: $(a+b+c)^{2}\ge 3+\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$
<=> $a+b+c \geq 3$ (đúng)
xét $abc \leq 1$
bất đẳng thức cần c/m tương đương: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 2(a+b+c)+3abc$
ta cần c/m: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(ab+bc+ca)\ge 2(a+b+c)+3abc$
<=>$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq3a^2b^2c^2$
mà $3a^2b^2c^2=3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
=> dpcm