Chủ đề này có 3 trả lời

[evolnuk]

Khi trình bày cách tính chính xác số e, người ta sử dụng dãy {y_n}:

$y_{n} := \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + ... + \frac{1}{n!}$

 

Và tính chất: $y_{n} \leq e$

 

=========================

 

Chứng minh: $y_{n} \leq e$ ?

 

[HoaTheKiet]

Chứng minh quy nạp:

$$f_n(x) = e^x - \left ( 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}\right ) \ge 0, x \ge 0$$

Ta có

$$f'_n(x)=f_{n-1}(x) \ge 0 \Rightarrow f_n(x) \ge f_n(0) = 0$$

Mình gợi ý vậy thôi nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaTheKiet: 14-11-2013 - 22:28

[evolnuk]

Cảm ơn bạn!

[Mrnhan]

Khi trình bày cách tính chính xác số e, người ta sử dụng dãy {y_n}:

$y_{n} := \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + ... + \frac{1}{n!}$

 

Và tính chất: $y_{n} \leq e$

 

=========================

 

Chứng minh: $y_{n} \leq e$ ?

 

Giải:

 

Theo $Maclaurin$, ta có:

 

$e^x=1+\frac{x}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^c}{(n+1)!}, \:\: c\in (0;1)$

 

Nên 

 

$e-y_n=\frac{e^c}{(n+1)!}>0\to \fbox{ĐPCM}$