ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ TĨNH NGÀY 1 NĂM 2013-2014
NGÀY 26/8/2013
BÀI 1:(5đ)
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10x^3-x^2}+2x(y+1)(2y+1)=15 & & \\\sqrt{10y^3-y^2}+y(z+1)(z+2)=15 & & \\\sqrt{5z^3-z^2}+2z(2x+1)(x+1)=30 \end{matrix}\right.$
BÀI 2:(5đ) Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi:
$x_1=1$ và $x_{n+1}=\frac{n+1}{n}+\frac{x_1x_2...x_n}{n}$ với mọi $n\geq 1, n\in\mathbb{N}$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}$.
Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow+\infty $ và tìm giới hạn đó.
BÀI 3.(5đ)
Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với $AB<AC$. Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$, $P$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $AD$. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống $AC,AB$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là tâm đường tròn $(BDF)$ và $(CDE)$. Chứng minh rằng $O_1, O_2, E, F$ thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $P$ là trực tâm của tam giác $ABC$.
BÀI 4;(5đ)
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{3}{2}$ và $a_{n+1}=\frac{6a_n}{a_n^2+3}$ với $n\geq1, n\in\mathbb{N}$
Với mỗi $n$ ta đặt $A_n=\frac{a_n^2a_{n+1}}{2(a_{n+1}-a_n)}$. Chứng minh với $n\in\mathbb{N^*}$ thì $A_n$ là số nguyên dương có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Luffy 97: 17-11-2013 - 12:28
