Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho $n>3.$ Chứng minh rằng : Nếu $2^n=10a+b\left ( 0< b< 9 \right )$  thì $ab\vdots 6$. với $a,b$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 17-11-2013 - 20:55

[Rias Gremory]

Cho $n>3.$ Chứng minh rằng : Nếu $2^n=10a+b\left ( 0< b< 9 \right )$  thì $ab\vdots 6$. với $a,b$ nguyên dương

$2^{n}=10a+b\Rightarrow b$ chẵn nên $ab\vdots 2$

Ta thấy $2^{n}\equiv 1,2$  ( $mod$ $3$ )

Đặt $b=2t\Rightarrow 2^{n-1}=5a+t$ và cần chứng minh $at\vdots 3$ suy ra $0< t< 5$

Xét $n-1=4k,4k+1,4k+2,4k+3$

Nếu $n-1=4k\Rightarrow 2^{4k}\equiv 1$ ( $mod$ $5$ )

$\Rightarrow t\equiv 1$ ( $mod$ $5$ ) $\Rightarrow t=1$

Mặt khác $2^{4k}\equiv 1$ ($mod$ $3$) $\Rightarrow 5a\equiv 0$ ($mod$ $3$)

$\Rightarrow a\vdots 3\Rightarrow at\vdots 3$  ( Q.E.D)

Nếu $n-1=4k+1,4k+2,4k+3$ tương tự chú ý đan xen modular $3$ và $5$ cho khéo léo

[anhminhkhon]

Cho $n>3.$ Chứng minh rằng : Nếu $2^n=10a+b\left ( 0< b< 9 \right )$  thì $ab\vdots 6$. với $a,b$ nguyên dương

bài này trong quyển các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

1.45