Chủ đề này có 2 trả lời

[parkjs ngoc]

Chứng minh rằng trong 17 số thực bất kỳ khác nhau từng đôi một , bao giờ cũng tồn tại 2 số thực x và y sao cho 0 < $\frac{x-y}{1+ xy}$ < $\frac{1}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-11-2013 - 22:48

[HoaTheKiet]

chứng minh rằng trong 17 số thực bất kỳ khác nhau từng đôi một , bao giờ cũng tồn tại 2 số thực x và y sao cho 0 < $\frac{x-y}{1+ xy}$ < $\frac{1}{5}$

 

Giả sử $a_i = \arctan x_i \Rightarrow a_i \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.

Tồn tại số $a_1,a_2$ mà $a_1 - a_2 < \frac{\pi}{16}$. Khi đó:

$\frac{x_1-x_2}{x_1x_2+1}= \tan {(a_1 - a_2)} < \tan {\frac{\pi}{16}} < \frac{1}{5}$

 

_____________

*******************

Mình không hiểu gõ sai chỗ nào mà công thức không hiện?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-11-2013 - 23:08

[phudinhgioihan]

Giả sử $a_i = \arctan x_i \Rightarrow a_i \in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.

Tồn tại số $a_1,a_2$ mà $a_1 - a_2 < \frac{\pi}{16}$. Khi đó:

$\frac{x_1-x_2}{x_1x_2+1}= \tan {(a_1 - a_2)} < \tan {\frac{\pi}{16}} < \frac{1}{5}$

 

_____________

*******************

Mình không hiểu gõ sai chỗ nào mà công thức không hiện?

 

Do $f: (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R} \;\;, f(x) =\tan x \; \forall x \in \mathbb{R}$  là một song ánh, do đó, với mỗi $a_i \in \mathbb{R} \;( 1 \le i \le 17 )$, tồn tại $x_i \in (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ sao cho $a_i = \tan x_i $.

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1<x_2<...<x_{17}$.

$17$ số thực $x_i$ tạo thành $16$ đoạn $[x_i;x_{i+1}] \;, (1 \le i \le 16)$, tổng độ dài các đoạn này bằng

$\sum_{i=1}^{16} (x_{i+1}-x_i)=x_{17}-x_1 < \frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$.

 

Gọi $[x_j,x_{j+1}]$ là đoạn có độ dài nhỏ nhất, khi đó $0<x_{j+1}-x_j \le \frac{\pi}{16}$.

 

$\Rightarrow 0<tan(x_{j+1}-x_j) \le \tan \frac{\pi}{16} <\frac{1}{5}$

 

$$\Leftrightarrow 0<\dfrac{\tan x_{j+1}-\tan x_j}{1+\tan x_{j+1} \tan x_j}<\frac{1}{5}$$

 

$$\Leftrightarrow 0<\dfrac{a_{j+1}-a_j}{1+a_j a_{j+1}}<\frac{1}{5}$$

 

Đây là điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-11-2013 - 23:28