1 reply to this topic

[haitienbg]

Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn $\omega_{1}$ đường kính $AC$ cắt cạnh $BC$ tại $F$ khác $C$. Đường tròn $\omega_{2}$ đường kính $BC$ cắt cạnh $AC$ tại $E$ khác $C$. Đường thẳng $AF$ cắt $\omega_{2}$ tại $K, M$ với $AK<AM$. Đường thẳng $BE$ cắt $\omega_{1}$ tại $L, N$ với $BL<BN$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AB,ML,NK$ đồng quy.

[nhatquangsin]

Xét bài toán sau:

Cho đường tròn tâm $O$ và tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $G$. $EG$ cắt $(O)$ tại hai điểm $M,N$. Khi đó $(EGMN)=-1$.

Chứng minh khá đơn giản như sau

Vẽ $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Từ $F$ kẻ hai tiếp tuyến $FP,FQ$ tới $(O)$. $PQ$ cắt $BC,AD$ tại $K,L$. Theo tính chất thì $(ELCB)=(EKDA)=-1$ nên suy ra $AD,PQ,BC$ đồng quy tại $E$.Do đó dễ dàng suy ra $(EGMN)=-1$

-------------------

Theo bài toán trên thì $(DBLN)=(DAMK)=-1$ nên suy ra $AB,ML,NK$ đồng quy(trong đó $D$ là trực tâm tam giác $ABC$)

Attached Images

• 

Edited by nhatquangsin, 24-11-2013 - 00:53.