SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2010-2011 THÁI BÌNH
------------- Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm) Chứng minh rằng:
$\frac{87}{89}<\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{2011\sqrt{2010}}<\frac{88}{45}$
Bài 2: (3 điểm) Tìm phần dư của phép chia đa thức $p(x)$ cho $(x-1)(x^{3}+1)$ biết $p(x)$ chia cho $x-1$ thì dư $1$, $p(x)$ chia cho $x^{3}+1$ thì dư $x^{2}+x+1$
Bài 3: (3 điểm) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x+1}=x^{3}-15x^{2}+75x-131$
Bài 4: (3 điểm) Cho $a,b,c$ là $3$ số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ có độ dài $3$ cạnh $AB=c, BC=a, CA=b$. Các góc $\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$,tm $\widehat{C}=2\widehat{A}+\widehat{B}$.
Chứng minh rằng: $c^{2}<a^{2}+b^{2}$
Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$($M$ không trùng với $B$ và $C$). Gọi $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC,CA,AB$
a/ Chứng minh rằng: $A',B',C'$ thằng hàng.
b/ Chứng minh rằng: $\frac{BC}{MA'}=\frac{CA}{MB'}+\frac{AB}{MC'}$
Bài 7: (2 điểm) Cho hình bình hành $ABCD$ và $n=4k+1$ ($k$ nguyên dương) đường thẳng. Mỗi đường thẳng đó chia hình bình hành thành hai hình thang có tỷ số diện tích là $m$($m$ là số dương cho trước). Chứng minh rằng có ít nhất $k+1$ đường thẳng trong số $n$ đường thẳng nói trên đồng quy. ( Hình bình hành cũng được xem như hình thang)
