2 replies to this topic

[hoctrocuanewton]

cho a>o và n là số nguyên dương . CMR:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

 ( n dấu căn )

[Vu Thuy Linh]

cho a>o và n là số nguyên dương . CMR:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

 ( n dấu căn )

Đặt VT = $a_{n}$ ta có:

$a_{1}=\sqrt{a};a_{2}=\sqrt{a+a_{1}};...a_{n}=\sqrt{a+a_{n-1}}$. Sử dụng quy nạp

Với n = 1đúng

Giả sử đúng vs n = k, ta cần cm đúng với n = k+1

$a_{k+1}^{2}=a+a_{k}< a+\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}=(\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2})^{2}$

$\Rightarrow a_{k+1}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$.

=> đpcm

[Sagittarius912]

cho a>o và n là số nguyên dương . CMR:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

 ( n dấu căn )

Để ý rằng: 

$(\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2})^2-a=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$. 

 

Do đó

 

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$ ( $n$ dấu căn)

 

 

$\Leftrightarrow \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$ ( $n-1$ dấu căn)

 

$\Leftrightarrow \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}}}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$ ( $n-2$ dấu căn )

 

....

 

$\Leftrightarrow \sqrt{a}< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$

 

$\Leftrightarrow 0< \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$ (đúng)

 

Vậy ta có đpcm