Chủ đề này có 3 trả lời

[tanh]

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên :

 a) $x^3$ - $x^2.y$ + $3x$ - $2y$ - 5 = 0

 b) $x^3$ - $8.x^2$ + $2x$ = $x^2y$ + y

Bài 2 : 

 a) Cho x, y, z >0 và x + y + z = 4

    CMR : x + y $\geq$ xyz

 b) Cho x, y >0 và $x^3$ + $y^3$ = x - y

    CMR : $x^2$ + $y^2$ < 1

[Rias Gremory]

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên :

 a) $x^3$ - $x^2.y$ + $3x$ - $2y$ - 5 = 0

Ta có : 

$y=\frac{x^{3}+3x-5}{x^{2}+2}=x+\frac{x-5}{x^{2}+2}$

Để $x,y\in Z$ thì $x-5$ chia hết cho $x^{2}+2$ suy ra $(x-5)(x+5) chia hết cho $x^{2}+2$

nên $27$ chia hết cho $x^{2}+2$

Hay $x^{2}+2\in \left \{ \pm 1;\pm 3;\pm 9;\pm 27 \right \}$

Mà $x^{2}+2\geq 2\Rightarrow x^{2}+2\in \left \{ 3;9;27 \right \}$

Đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SieuNhanVang: 21-11-2013 - 21:29

[letankhang]

 

 b) Cho x, y >0 và $x^3$ + $y^3$ = x - y

    CMR : $x^2$ + $y^2$ < 1

Ta có :

$x-y=x^3+y^3> 0$

$\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}}{x-y}=1\Rightarrow x^2+y^2-1=\frac{x^{3}-x^{2}y+xy^{2}-y^{3}-x^{3}-y^{3}}{x-y}=\frac{-y(x^{2}-xy+2y^{2})}{x-y}< 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}< 1$

[phatthemkem]

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên :

 b) $x^3$ - $8.x^2$ + $2x$ = $x^2y$ + y

Hiển nhiên $x=y=0$ là một nghiệm

Xét $x\neq 0$

Ta có : $x^3-8.x^2+2x=x^2y+y\Leftrightarrow y=\frac{x+8}{x^2+1}+x-8$

Vì $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{x+8}{x^2+1}+x-8\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{x+8}{x^2+1}\in \mathbb{Z}$

Dễ thấy với $x>3$ và $-2>x>-8$ thì $x^2+1>x+8>0\Leftrightarrow 1>\frac{x+8}{x^2+1}>0$

             với $x=-8$ thì suy ra $y=-16$

             với $x<-8$ thì $0>\frac{x+8}{x^2+1}>-1$

             vơi $3>x>-3$ thì...