Chủ đề này có 3 trả lời

[anbanhkhoaitay]

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM . Hãy tính độ dài AM theo các cạnh của tam giác ABC

[Rias Gremory]

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM . Hãy tính độ dài AM theo các cạnh của tam giác ABC

Bạn xem ở đây . Gồm cả tính $AM$ theo các cạnh , và còn dính đến cả góc nữa .

[yeutoan2604]

$AM^{2}=\frac{1}{2}(AB^{2}+AC^{2})-\frac{BC^{2}}{4}$

[leduylinh1998]

Ta có: $ \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left [\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^{2} \right ]=\frac{1}{2}\left ( c^{2}+b^{2}-a^{2} \right )$

Gọi M là một điểm thỏa mãn:$\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}$

 

Ta có:$\overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})$

 

$\Rightarrow(1-k) \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

Suy ra với k $\neq$1, ta có:$\overrightarrow{AM}=\frac{k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{1-k}$

 

$\Rightarrow AM^{2}=\frac{k^{2}AC^{2}+AB^{2}-2k\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{(1-k)^{2}}$

 

$=\frac{k^{2}b^{2}+c^{2}-k(c^{2}+b^{2}-a^{2})}{(1-k)^{2}}=\frac{ka^{2}-k(1-k)b^{2}+(1-k)c^{2}}{(1-k)^{2}}$

Vì AM là trung tuyến của BC nên k=-1, thay vào, ta được:

$AM^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{4}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 21-11-2013 - 23:15