Chủ đề này có 1 trả lời

[ttdlaq]

cho k là số thực k $\geq$ 8. Chứng minh rằng với các số nguyên dương a,b,c ta có

  $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}}$$+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+kca}}$$+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+kab}}$$\geq$$\frac{3}{^{\sqrt{k+1}}}$

 

 

 

 

 

[Hoang Tung 126]

Do $k\geq 8$ nên đặt $k=8+m$

Theo bđt Cauchy-Swtach có :$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+kbc}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+(8+m)bc}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{a^3+abc(8+m)}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{a^3+abc(8+m)}}$

Theo bđt Bunhiacopxki ta có :$\sum \sqrt{a}.\sqrt{a^3+abc(8+m)}\leq \sqrt{(\sum a).(\sum a^3+3abc(8+m))}=\sqrt{(\sum a).(\sum a^3+24abc+9abcm)}\leq \sqrt{(\sum a).(\sum a^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+3abcm)}=\sqrt{(\sum a).\left [ (\sum a)^3+3abcm \right ]}\leq \sqrt{(\sum a).\left [ (\sum a)^3+m\frac{(\sum a)^3}{9} \right ]}=\sqrt{(\sum a)^4(1+\frac{m}{9})}=(\sum a)^2.\sqrt{\frac{m+9}{9}}= > \frac{(\sum a)^2}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{a^3+abc(8+m)}}\geq \frac{(\sum a)^2}{(\sum a)^2.\frac{\sqrt{m+9}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{m+9}}=\frac{3}{\sqrt{m+8+1}}=\frac{3}{\sqrt{k+1}}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 22-11-2013 - 14:18