3 replies to this topic

[ongngua97]

1/ Cho a,b,c>0 và $\sum \sqrt{a}=1$

  CMR $\sum \frac{a^{2}+bc}{\sqrt{2a^{2}(b+c)}}\geq 1$

2/Cho a,b,c thoả $\sum a^{2}=1$

   CMR $\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

 

MOD: Chú í tiêu đề ghi cả giả thiết bài toán

Edited by Toc Ngan, 22-11-2013 - 12:49.

[25 minutes]

1/ Cho a,b,c>0 và $\sum \sqrt{a}=1$

  CMR $\sum \frac{a^{2}+bc}{\sqrt{2a^{2}(b+c)}}\geq 1$

2/Cho a,b,c thoả $\sum a^{2}=1$

   CMR $\sum \frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$

Bài 1: Tham khảo tại đây 

Bài 2: Tham khảo tại đây

[Hoang Tung 126]

Bài 1: Tách ra ta có :$\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^2(b+c)}}=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sqrt{(\sum a)}.\sqrt{2(\sum ab)}}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sqrt{\sum a}.\sqrt{2.\frac{(\sum a)^2}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\sqrt{(\sum a)}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{\sum \sqrt{a}}{\sqrt{3}}=\frac{\sum \sqrt{a}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Mà $\sum \frac{bc}{\sqrt{a^2(b+c)}}=\sum \frac{b^2c^2}{abc\sqrt{b+c}}\geq \frac{(\sum bc)^2}{\sum abc\sqrt{b+c}}=\frac{(\sum bc)^2}{abc.(\sum \sqrt{b+c})}\geq \frac{(\sum bc)^2}{abc.\sqrt{6(\sum a)}}\geq \frac{3abc.(\sum a)}{abc.\sqrt{6(\sum a)}}=\frac{3(\sum a)}{\sqrt{6(\sum a)}}=\frac{3}{\sqrt{6}}.\sqrt{\sum a}\geq \frac{3}{\sqrt{6}}.\frac{\sum \sqrt{a}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{18}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

(Do áp dụng bđt Cauchy-Swatch và bđt Bunhiacopxki)

Cộng theo vế các bđt trên ta có đpcm

[ongngua97]

Bài 1: Tham khảo tại đây 

Bài 2: Tham khảo tại đây

Bài 1 xem lại.