Chủ đề này có 2 trả lời

[nhox sock tn]

Cho $S_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}+(\sqrt{2}-1)^{n}$ với n=1; 2; 3; 4;,,,.CMR: $S_{2011}.S_{2012}-S_{4023}=2\sqrt{2}$

[NMDuc98]

Cho $S_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n}+(\sqrt{2}-1)^{n}$ với n=1; 2; 3; 4;,,,.CMR: $S_{2011}.S_{2012}-S_{4023}=2\sqrt{2}$

Đặt:

$\sqrt{2}+1=a$ ;$\sqrt{2}-1=b$ => $ab=1$

Ta có: Với $m>n$

$S_{m}.S_{n}=(a^m+b^m)(a^n+b^n)=a^{m+n}+b^{m+n}+a^mb^n+a^nb^m$

Vì ab=1 nên ta có:$a^mb^n=\frac{a^mb^n}{(ab)^n}=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Tương tự: $a^nb^m=b^{m-n}$

=>$S_{m}.S_{n}=a^{m+n}+b^{m+n}+a^{m-n}+b^{m-n}$

$<=>S_{m}.S_{n}=S_{m+n}+S_{m-n}$

Áp dụng ta có:

$S_{2011}.S_{2012}=S_{2011+2012}+S_{2012-2011}$

$<=>S_{2011}.S_{2012}=S_{4023}+S_{1}$

$<=>S_{2011}.S_{2012}-S_{4023}=S_{1}$

$<=>S_{2011}.S_{2012}-S_{4023}=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1$

$<=>S_{2011}.S_{2012}-S_{4023}=2\sqrt{2}$  (đpcm)

[pluswith]

$S_{2011}S_{2012}-S_{4023}=[(\sqrt{2}+1)^{2011}-(\sqrt{2}-1)^{2011}][(\sqrt{2}+1)^{2012}-(\sqrt{2}-1)^{2012}]-[(\sqrt{2}+1)^{4023}+(\sqrt{2}-1)^{4023}]$

$=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pluswith: 23-11-2013 - 20:03