Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuanewton]

cho x,y,z tùy ý . Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xz+z^{2}}\geq \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

 

p/s: sử dụng  phương pháp tọa độ vectơ nhé mọi người

[Juliel]

cho x,y,z tùy ý . Chứng minh rằng

$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xz+z^{2}}\geq \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

 

p/s: sử dụng  phương pháp tọa độ vectơ nhé mọi người

Trong hệ tọa độ $Oxy$ ta chọn các điểm $A(x,0),B\left ( \dfrac{-y}{2},\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right ),C\left ( \dfrac{-z}{2},\dfrac{-z\sqrt{3}}{2} \right )$

Ta có :

$AB=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{y}{2} \right )^{2}+\left ( -\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4xy+4y^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}$

$AC=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{z\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4zx+4z^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+zx+z^{2}}$

$BC=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( \dfrac{-y}{2}+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{y\sqrt{3}}{2} +\dfrac{z\sqrt{3}}{2}\right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4y^{2}+4yz+4z^{2}}{4}}=\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

Theo bất đẳng thức tam giác :

$AB+BC\geq AC\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{B}}\Leftrightarrow \dfrac{y+2x}{y-z}=\dfrac{y}{y+z}\Leftrightarrow xy+yz+zx=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-11-2013 - 22:26

[letankhang]

 

Trong hệ tọa độ $Oxy$ ta chọn các điểm $A(x,0),B\left ( \dfrac{-y}{2},\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right ),C\left ( \dfrac{-z}{2},\dfrac{-z\sqrt{3}}{2} \right )$

Ta có :

$AB=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{y}{2} \right )^{2}+\left ( -\dfrac{y\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4xy+4y^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}$

$AC=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( x+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{z\sqrt{3}}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}+4zx+4z^{2}}{4}}=\sqrt{x^{2}+zx+z^{2}}$

$BC=\sqrt{(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}=\sqrt{\left ( \dfrac{-y}{2}+\dfrac{z}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{y\sqrt{3}}{2} +\dfrac{z\sqrt{3}}{2}\right )^{2}}=\sqrt{\dfrac{4y^{2}+4yz+4z^{2}}{4}}=\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

Theo bất đẳng thức tam giác :

$AB+BC\geq AC\Rightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}$

Đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \dfrac{x_{B}-x_{A}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{y_{C}-y_{B}}\Leftrightarrow \dfrac{y+2x}{y-z}=\dfrac{y}{y+z}\Leftrightarrow xy+yz+zx=0$

 

Cho em hỏi đây có phải là phương pháp mặt phẳng tọa độ không ạ !?

[Juliel]

Cho em hỏi đây có phải là phương pháp mặt phẳng tọa độ không ạ !?

Anh cũng chả biết gọi nó là gì