Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:
$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$
Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:
$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$
Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:
$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$
Xét $f(x)=\left | x \right |$ là một hàm lồi.
Ta cần chứng minh
$f(x+y-z)+f(y+z-x)+f(z+x-y)+f(x+y+z)\geq f(2x)+f(2y)+f(z)+f(z)$
Giả sử $x\geq y\geq z$. Xét hai bộ $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^{*}$ và $(2x,2y,z,z)^*$
Rõ ràng $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^*\gg (2x,2y,z,z)^*$. Do đó theo bất đẳng thức Karamata ta có đpcm
Xét $f(x)=\left | x \right |$ là một hàm lồi.
Ta cần chứng minh
$f(x+y-z)+f(y+z-x)+f(z+x-y)+f(x+y+z)\geq f(2x)+f(2y)+f(z)+f(z)$
Giả sử $x\geq y\geq z$. Xét hai bộ $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^{*}$ và $(2x,2y,z,z)^*$
Rõ ràng $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^*\gg (2x,2y,z,z)^*$. Do đó theo bất đẳng thức Karamata ta có đpcm
Hix. Chỉ dùng đến kiến thức thông thường có giải đk ko bạn??? Hàm lồi mình chưa học à; cả bđt Karamata bạn ns nữa.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi RoyalMadrid: 25-11-2013 - 20:11
Hix. Chỉ dùng đến kiến thức thông thường có giải đk ko bạn??? Hàm lồi mình chưa học à; cả bđt Karamata bạn ns nữa.
cái này thực ra làm thường thì phải liệt kê từng trường hợp thôi mà cái đó thì mình lười lắm, bạn xem quyển sáng tạo bất đẳng thức ấy
cái này thực ra làm thường thì phải liệt kê từng trường hợp thôi mà cái đó thì mình lười lắm, bạn xem quyển sáng tạo bất đẳng thức ấy
Hix. Mình đâu có mà đọc bạn. Liệt kê từng trường hợp là ntn vậy, bạn thử ns hướng mình vs? Mình đag làm theo hướng này:
Đặt x+y-z = a; x+z-y= b; z+y-x= c ==> C/m:
$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | a+b+c \right |\geqslant \left | a+b \right |+\left | b+c \right |+\left | a+c \right |$
Nhưng chứng minh cái này cx chưa ra đk
Hix. Mình đâu có mà đọc bạn. Liệt kê từng trường hợp là ntn vậy, bạn thử ns hướng mình vs? Mình đag làm theo hướng này:
Đặt x+y-z = a; x+z-y= b; z+y-x= c ==> C/m:
$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | a+b+c \right |\geqslant \left | a+b \right |+\left | b+c \right |+\left | a+c \right |$
Nhưng chứng minh cái này cx chưa ra đk
Đúng hướng rồi, cái này liệt kê ra đơn giản mà(chỉ cần trâu bò một chút thôi) còn sách thì trên mạng có e-book mà
Đúng hướng rồi, cái này liệt kê ra đơn giản mà(chỉ cần trâu bò một chút thôi) còn sách thì trên mạng có e-book mà
Mình vẫn ko hiểu liệt kê ntn??? Mình áp dụng mãi mấy cái bđt dấu gttđ mà nó cứ sai dấu chỗ /a+b+c/. Mà nếu tìm đk sách thì bài này ở phần nào vậy bạn???
chứng minh đơn giản như sau
Giả sử $a\geq b\geq c$
TH $a,b,c$ cùng dấu là hiển nhiên đúng
TH $a,b$ cùng dấu $c$ khác dấu thì bđt tương đương $a+b-c+a+b+c\geq a+b+b+c+c+a\Leftrightarrow c\leq 0$(đúng)
TH $a$ khác dấu $b,c$ bđt tương đương $a-b-c+\left | a+b+c \right |\geq a+b-b-c+a+c\Leftrightarrow \left | a+b+c \right |\geq a+b+c$(đúng)
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh