Cách của mình:
Từ hệ suy ra $(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0$ (*)
*Nếu $x=0$, $(*)\Leftrightarrow z=2-y$.
Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: $3y^2-3y+7=0$ (Phương trình vô nghiệm)
*Tương tự, $y=0$, $z=0$ hệ cũng vô nghiệm nên $xyz\neq 0$
*Đặt $x=ay=bz,ab\neq 0$
Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=\frac{3}{a^2}.x^2-\frac{3}{b}.x+1 & & & \\ x^3=\frac{3a^3}{b^2}.x^2-3a^3.x+a^3 & && \\ x^3=3b^2.x^2-\frac{3b^3}{a}.x+b^3 & & & \end{matrix}\right.$
Đống nhất hệ số, ta được $a=b=1$ $\Rightarrow x=y=z$
$(*)\Leftrightarrow 3(x-1)^3=0\Leftrightarrow x=1$
Thử lại, $x=y=z=1$ thỏa mãn
Chỉ được đồng nhất $2$ đa thức khi nó đúng với mọi giá trị của biến số.
-----------------------------------------------
Cộng $3$ phương trình của hệ cho ta : $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}=0$
Do là hệ hoán vị nên ta chỉ cần xét $2$ TH:
TH 1: $x> y> z$.
Từ $y>z\Rightarrow y^{3}> z^{3}\Rightarrow 3z^{2}-3x> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow 3(z^{2}-x^{2})> 3(x-y)> 0\Rightarrow z^{2}>x^{2}$
Kết hợp giả thiết ta có $0>x>z$.
Mặt khác lại có :$(y-1)^{3}=(1-x)^{3}+(1-z)^{3}> 0\Rightarrow y> 1> 0> x$ (Trái với điều giả sử)
Th 2: $x> z> y$.
Tương tự :
$x> z\Leftrightarrow x^{3}> z^{3}\Rightarrow 3y^{2}-3z> 3x^{2}-3y\Leftrightarrow y^{2}-x^{2}> z-y> 0\Rightarrow 0>x>y$
Mà $x>z>y$ nên $0>x>z>y$.Vậy nên $(x-1)^{3}+(y-1)^{3}+(z-1)^{3}<0$.
Vậy ta có $x=y=z$.Thay vào giải được $x=y=z=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 01-12-2013 - 17:37